第08讲 垂径定理（解析版）.pdf

第08讲垂径定理

【知识梳理】

一．垂径定理

（1）垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）垂径定理的推论

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

二．垂径定理的应用

垂径定理的应用很广泛，常见的有：

（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．

这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．

【考点剖析】

一．垂径定理（共9小题）

1．（2023•荆州模拟）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于

M、N两点，若点M的坐标是（﹣4，﹣2），则点N的坐标为（）

A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1.5，﹣2）D．（1.5，﹣2）

【分析】本题可先设半径的大小，由此得出A点的方程．连接AM、AN根据等腰三角形的性质即可得出

AN的长度，再根据两点之间的距离公式即可解出N点的坐标．

【解答】解：分别过点M、N作x轴的垂线，过点A作AB⊥MN，连接AN，则BM＝BN，

设⊙A的半径为r，

则AN＝r，AB＝2，BM＝BN＝4﹣r，

222

在Rt△ABN中，根据勾股定理，2+（4﹣r）＝r，

可得：r＝2.5，

∴BN＝4﹣2.5＝1.5，

则N到y轴的距离为：AO﹣BN＝2.5﹣1.5＝1，

又点N在第三象限，

∴N的坐标为（﹣1，﹣2），

故选：B．

【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一

个直角三角形里，运用勾股定理求解．

2．（2023•西湖区校级模拟）如图，AB是半径为4的⊙O的直径，P是圆上异于A，B的任意一点，∠APB

的平分线交⊙O于点C，连接AC和BC，△ABC的中位线所在的直线与⊙O相交于点E、F，则EF的长

是（）

A．B．C．3D．

【分析】连接OE、OC，OC交EF于D，由圆周角定理得出，如果连接OC交EF于D，根据垂

径定理可知：OC必垂直平分EF．由MN是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：OD＝CD＝OC

＝2．在Rt△OED中求出ED的长，即可得出EF的值．

【解答】解：如图所示，

∵PC是∠APB的角平分线，

∴∠APC＝∠CPB，

∴弧AC＝弧BC；

∴AC＝BC；

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°．

即△ABC是等腰直角三角形．

连接OC，交EF于点D，则OC⊥AB；

∵MN是△ABC的中位线，

∴MN∥AB；

∴OC⊥EF，OD＝OC＝2．

连接OE，根据勾股定理，得：DE＝＝2，

∴EF＝2ED＝4．

故选：A．

【点评】此题考查圆周角定理，垂径定理，三角形的中位线，综合运用了圆周角定理及其推论发现等腰

直角三角形，再进一步根据等腰三角形的性质以及中位线定理，求得EF的弦心距，最后结合垂径定理

和勾股定理求得弦长．

3．（2022秋•杭州期末）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E，连

接BE，DE．若DE＝3DO，，则△ODE的面积为（）

A．4B．C．D．

【分析】先根据垂径定理得到AD＝BD＝2，则BE＝2OD，再根据圆周角定理得到∠B＝90°，接着

222

利用勾股定理