第11讲 平方根（5种题型）（原卷版）.pdfVIP

第11讲平方根（5种题型）

【知识梳理】

一、平方根和算术平方根的概念

1.算术平方根的定义

2

如果一个正数的平方等于，即xa,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是

xaxa

0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.

aaaa

要点：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.

aaaa

2.平方根的定义

2

如果xa，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.

xaa

(≥0)的平方根的符号表达为a(a0)，其中是的算术平方根.

aaaa

二、平方根和算术平方根的区别与联系

1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a和a

2．联系：

（1）平方根包含算术平方根；

（2）被开方数都是非负数；

（3）0的平方根和算术平方根均为0．

要点：

（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．

（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可

以利用算术平方根来研究平方根.

三、平方根的性质

aa0

2

a|a|0a0



aa0



2

aaa0



四、平方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：

62500250，62525，6.252.5，0.06250.25.

【考点剖析】

题型一、平方根和算术平方根的概念

例1、若2－4与3－1是同一个正数的两个平方根，求的值．

mmm

【变式1】下列说法错误的是（）

A.5是25的算术平方根B.l是l的一个平方根

2

C.4的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0



【变式2】判断下列各题正误，并将错误改正：

（1）没有平方根．（）

9

（2）164．（）

121

（3）()的平方根是．（）

1010

24

（4）是的算术平方根．（）

525

例2、填空：

4

（1）是的负平方根．

11

（2）表示的算术平方根，．

1616

1

（3）的算术平方根为．

81

（4）若x3，则x，若x23，则x．

【变式1】下列说法中正确的有（）：

33是9的平方根．②9的平方根是3．

③4是8的正的平方根．④8是64的负的平方根．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【变式2】的平方根是．

例3.为何值时，下列各式有意义？

x