专题07以双曲线为情境的定点问题（解析版）-高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型.docxVIP

双曲线必会十大基本题型讲与练

07以双曲线为情境的定点问题

典例分析

类型一：求线过定点

1．双曲线的左、右两支上各有一点A、B，点B在直线上的射影是点，若直线AB过右焦点，则直线必定经过的定点的坐标为___________．

【答案】

【分析】根据双曲线的右焦点为，设，直线与双曲线方程联立，表示出直线的方程，令，结合韦达定理求解.

【详解】双曲线的右焦点为，设，直线与双曲线方程联立得，则，所以，直线的斜率为，所以直线的方程为，令化简得，，即，则恒成立，所以直线必定经过的定点的坐标为。

2．已知双曲线C：－y2＝1，直线l：y＝kx＋m与双曲线C相交于A，B两点(A，B均异于左、右顶点)，且以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，则直线l所过定点为________．

【答案】

【解析】联立直线与双曲线求出韦达定理，由题知，结合斜率公式和韦达定理即可求解

【详解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(1－4k2)x2－8kmx－4(m2＋1)＝0，

所以，x1＋x2＝＞0，x1x2＝＜0，所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.因为以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D(－2，0)，所以kAD·kBD＝－1，即，所以y1y2＋x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝0，

即＋＋＋4＝0，所以3m2－16mk＋20k2＝0，解得m＝2k或m＝.

当m＝2k时，l的方程为y＝k(x＋2)，直线过定点(－2，0)，与已知矛盾；

当m＝时，l的方程为y＝k，直线过定点，经检验符合已知条件．

故直线l过定点.

类型二：探索线过定点

1．已知双曲线的左焦点为，到的一条渐近线的距离为1.直线与交于不同的两点，，当直线经过的右焦点且垂直于轴时，.

(1)求的方程；

(2)是否存在轴上的定点，使得直线过点时，恒有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)；(2)存在，理由见解析.

【分析】（1）根据题意，列出的方程组，解得，则椭圆方程得解；

（2）假设存在点满足题意，设出直线的方程，联立双曲线方程，利用韦达定理以及，即可求解.

【解析】(1)双曲线的左焦点，其中一条渐近线，则；

对双曲线，令，解得，则，解得，

故双曲线方程为：.

根据（1）中所求可知，假设存在轴上的点满足题意，若直线的斜率不为零，则设其方程为，联立双曲线方程，可得，

则，即，此时直线与双曲线交于两点，

则，则，

即，即，则，此时满足题意；若直线的斜率为零，且过点，此时，满足题意.

综上所述，存在轴上的一点满足.

【点睛】本题考察双曲线方程的求解，以及双曲线中存在某点满足条件的问题；解决问题的关键是合理转化，利用韦达定理进行求解，属综合中档题.

2．已知双曲线C：0)经过点P(－2，1)，且C的右顶点到一条渐近线的距离为．

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点P分别作两条直线与C交于A，B两点(A，B两点均不与点P重合)，设直线的斜率分别为．若，试问直线AB是否经过定点?若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．

【答案】(1)，(2)是，

【分析】（1）将点代入得到，根据点到直线的距离公式得到，解得方程.

（2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据得到，得到直线定点.

【解析】(1)，右顶点为，不妨取渐近线为：，故，

联立解得，，则双曲线C的方程为：.

(2)设，

①当AB斜率不存在时，设AB：，所以，

则，即AB：；

②当AB斜率存在时，设AB：，联立得，

所以，，，

化简得，即，

所以或，分别过和（舍去）．

综上，AB恒过．

类型三：证明线过定点

1．已知双曲线，四点，，，中恰有三点在上.

(1)求的方程；

(2)过点的直线交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为.证明：直线过定点.

【答案】(1).(2)证明见解析.

【分析】（1）由已知得点，，在曲线上，代入建立方程组，求解即可；

（2）当直线斜率不存在时，求得，，的坐标，得出直线的方程，得出过点；当直线斜率存在时，设为，，，则，联立整理得，，再计算得，从而得出结论.

【解析】(1)因为四点，，，中恰有三点在上，

而点，关于原点对称，，所以点，，在曲线上，

代入可得，解得，所以的方程为：.

(2)当直线斜率不存在时，得，，，

则直线方程为，过点；

当直线斜率存在时，设为，，，则，

联立，整理得，，，，

则，所以，

又，

所以，即直线过点。

2．在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)设过点A(，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点.

【答案】(1)(2