专题08以双曲线为情境的几何证明（原卷版）-高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型.docxVIP

双曲线必会十大基本题型讲与练

08以双曲线为情境的几何证明

典例分析

类型一：有关直线位置关系的证明

1．在平面直角坐标系中，已知双曲线．

（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求M点的坐标；

（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；

（3）设斜率为k（）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆相切，求证：．

2．已知抛物线C的焦点F在x轴上，过F且垂直于x轴的直线交C于A（点A在第一象限），B两点，且.

(1)求C的标准方程.

(2)已知l为C的准线，过F的直线交C于M，N（M，N异于A，B）两点，证明：直线AM，BN和l相交于一点.

类型二：有关线段长度的证明

1．已知双曲线与抛物线有共同的焦点F，双曲线C与抛物线E交于A，B两点，且（O为坐标原点）．

(1)求双曲线C的离心率．

(2)过F的直线（斜率存在）与双曲线的右支交于M，N两点，MN的垂直平分线交x轴于P，证明：．

2．已知双曲线：的一条渐近线与直线：垂直，且双曲线的右焦点到直线的距离为1．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，点，且直线与直线交于点，求证：．

类型三：有关角度的证明

1．已知曲线上任意一点满足方程.

(1)求曲线的方程；

(2)已知定点，过点的直线与曲线交于两点.证明：.

2．已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，离心率e＝2，直线l：x＝与E的一条渐近线交于Q，与x轴交于P，且|FQ|＝．

（1）求E的方程；

（2）过F的直线交E的右支于A，B两点，求证：PF平分∠APB．

类型四：有关三点共线的证明

1．已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为．

（1）求双曲线的方程；

（2）记的左、右顶点分别为，过的直线交的右支于两点，连结交直线于点，求证：三点共线．

类型五：有关定值的证明

1．已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，抛物线在点处的切线与轴相交于点，且的面积为2.

(1)求抛物线的方程.

(2)若斜率不为0的直线过焦点，且交抛物线于，两点，线段的中垂线与轴交于点.证明：为定值.

类型六：有关定点的证明

1．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆上．

(1)经过点M（1，）作一直线交椭圆于AB两点，若点M为线段AB的中点，求直线的斜率；

(2)设椭圆C的上顶点为P，设不经过点P的直线与椭圆C交于C，D两点，且，求证：直线过定点．

类型七：有关数列的证明

1．已知双曲线C：（a0,b0）的左、右焦点分别为、，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为.

（Ⅰ）求a,b；

（Ⅱ）设过的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，且，证明：、、成等比数列.

方法点拨

圆锥曲线中的证明问题是高考的热点内容之一，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等.在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法.

1．几何证明问题的解题策略

(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．

(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．

2、证明三点共线问题的方法

圆锥曲线中的三点共线问题，其实就是对应直线(斜率存在)上的三点中相关两个点对应的斜率相等问题，即若要证明A，B，C三点共线，即证明kAB＝kAC(或kAB＝kBC或kAC＝kBC)．

3、几何关系“直角”坐标化的转化方式

(1)点B在以线段F1F2为直径的圆上；(2)eq\o(F1B,\s\up7(―→))·eq\o(F2B,\s\up7(―→))＝0；(3)kF1B·kF2B＝－1；(4)勾股定理．以上关系可相互转化．

巩固练习

1．已知双曲线的离心率为，点在上．

（1）求双曲线的方程；

（2）设过点的直线l与曲线交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．

2．已知曲线，为曲线上一动点，过作两条渐近线的垂线，垂足分别是和.

（1）当运动到时，求的值；

（2）设直线（不与轴垂直）与曲线交于、两点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，若，，且，求证为定点.

3．已知点，点，点M与y轴的距离记为d，且点M满足：，记点M的轨迹为曲线W．

(1)求曲线W的方程；

(2)设点P为x轴上除原点O外的一点，过点P作直线，，交曲线W于点C，D，交曲线W于点E，