专题8 极值点偏移六脉神剑之“少泽剑”（教师版）-极值点偏移专题.docxVIP

极值点偏移六脉神剑之“少泽剑”

少泽剑——左手小指-手太阳小肠经。特点：忽来忽去，变化精微。

值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高.

下面给出引例，通过探究，归纳总结出解决此类问题的一般性方法.

对点详析，利器显锋芒

★已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若为的两个极值点，证明：.

【答案】（1）当时，在为增函数，减函数，为增函数；当时，在为增函数．（2）证明见解析．

【解析】（1）的定义域为，，对于函数，

①当时，即时，在恒成立．

在恒成立，在为增函数；

②当，即或时，

当时，由，得或，，

在为增函数，减函数，

为增函数，

当时，由在恒成立，

在为增函数．

综上，当时，在为增函数，减函数，为增函数；

当时，在为增函数．

（2）由（1）知，且，

故

故只需证明，

令，故，原不等式等价于对成立，

令，所以单调递减，有

得证.

★设函数，其中e为自然对数的底数.

（1）当a＝0时，求函数f(x)的单调减区间；

（2）已知函数f(x)的导函数f?(x)有三个零点x1，x2，x3(x1?x2?x3).①求a的取值范围；②若m1，m2(m1?m2)是函数f(x)的两个零点，证明：x1?m1?x1?1.

【答案】（1）；（2）①②证明见解析

【解析】（1）当时,,,

令,可得,的单调减区间为

（2）①由题,,

,,设,

是的三个零点,

,

当时,,则单调递减,不符合条件；

当时,令,则,

在,单调递增,在,单调递减,

,

,即,

,

②是的两个零点,令,则方程的两根分别为,,

,,,即,,

由①,,

又,,即,

故

★已知，．若有两个极值点，，且，求证：（为自然对数的底数）．

解法一：齐次构造通解偏移套路

于是．

又，设，则．因此，，．

要证，即证：，．即：当时，有．

设函数，，则，

所以，为上的增函数．注意到，，因此，．

于是，当时，有．所以，有成立，．

解法二变换函数能妙解

证法2：欲证，需证．若有两个极值点，，即函数有两个零点．又，所以，，是方程的两个不同实根．显然，否则，函数为单调函数，不符合题意．

由，

解法三构造函数现实力

证法3：由，是方程的两个不同实根得，令，，由于，因此，在，．

设，需证明，只需证明，只需证明，

即，即．

即，，故在，故，即．令，则，因为，，在，所以，即．学科网

解法四巧引变量（一）

证法4：设，，则由得，设，则，．欲证，

解法五巧引变量（二）

证法5：设，，则由得，设，则，．

欲证，需证，即只需证明，

即，

设，，

故在，因此，命题得证．学科网

★已知函数，若方程有两个不相等的实数根，求证：.

欲证：，结合的单调性，即证：

等价于证明：

令，构造函数，求导由单调性易得原不等式成立，略.

法二：接?后续解:

由?得：

构造函数，

求导由单调性易得在恒成立，

又因为，故成立.

法三：接④后续解：

视为主元，设

则在上单调递增，故，

再结合，故成立.

法四：构造函数，学科网

则，

从而在上单调递增，故，即

对恒成立，

从而，则，

由，且在单调递增，

故，

即，从而成立.

内练精气神，外练手眼身

★已知函数.

（1）讨论函数的极值点的个数；

（2）若有两个极值点，证明：.

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）.

①当时，.

当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减.

即函数只有一个极大值点，无极小值点.

②当时，，

令，得.

当时，，

所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减.

即函数有一个极大值点，有一个极小值点.

③当时，，此时恒成立，

即在上单调递增，无极值点.

综上所述，当时，有且仅有一个极大值点，即只有1个极值点；

当时，有一个极大值点和一个极小值点，即有2个极值点；

当时，没有极值点.

（2）由（1）可知，当且仅当时，

有两个极值点，且为方程的两根，

即，

所以

.

令，

则恒成立，

所以在上单调递增，

所以，

即.

★已知函数．

（1）设函数，讨论的单调性；

（2）当时，若存在，，，使，证明：．

【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）详见解析.

【解析】（1）解：的定义域为，

．

①当时，恒成立，所以在上单调递减．

②当时，令，得，则单调递减；

令，得，则单调递增．

综上，当时，在单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减．

（2）证明：不妨设，由，得

，

所以．

设，则，故在上单调递增．

因为，所以，所以，

即，故，

所以，

于是，

则．

★已知函数有两个不同的零点．

求的最值；

证明：．

【答案】（1），无最小值（2）见解析

【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式