期末最后一题几何与函数综合压轴题（考题猜想，5种必考题型）原卷版-A4.docx

期末最后一题几何与函数综合压轴题（考题猜想，5种必考题型）

一．正比例函数与三角形综合题（共1题）

1．（2022秋?杨浦区期末）如图1，点在直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，，，且点在第四象限．

（1）当时，求直线的函数解析式．

（2）如图2，等腰直角三角形中，，，且点、分别在第二象限和第三象限；联结，交轴分别与、两点．

①当、的纵坐标相等．判断和的大小关系并说明理由．

②与的面积有什么关系？若，，当面积取到最大值时，求的长．

二．反比例函数综合题（共1题）

2．（2023秋?黄浦区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是长方形，且，，．反比例函数的图象分别交、于点、点．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）联结、、，求的面积；

（3）是否存在轴上的一点，使得是不以点为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．

三．全等三角形的判定与性质（共4小题）

3．（2023秋?静安区校级期末）已知：如图，在中，，点在边上，．

（1）与之间有怎样的数量关系？并证明你所得的结论．

（2）求证：．

4．（2020秋?工业园区校级期中）如图，在中，，，为边上的中线，是边上任意一点，，交于点．为的中点，连接并延长交于点．

（1）说明：；

（2）连接，说明：；

（3）若，，求边的长．

5．（2023秋?崇明区期末）已知：如图，在中，，，是边上一点（不与点、重合），过且垂直于的直线与过且垂直于的直线相交于点，点是的中点．

（1）若为的中点，求证：；

（2）若，点为的中点，求的长；

（3）若，设，试用的代数式表示的长．

6．如图，中，，，点是边的中点，点是边上的一个动点（不与、重合），交于．设，．

（1）求证：．

（2）写出关于的函数关系式，并写出的定义域．

（3）写出为何值时，？

四．勾股定理综合题（共3题）

7．（2023秋?闵行区校级期末）如图，在中，，，是边上不与点、重合的任意一点，，垂足为点，是的中点．

（1）求证：；

（2）如果，设，，求与的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）当点在线段上移动时，的大小是否发生变化？如果不变，求出的大小；如果发生变化，说明如何变化．

8．（2022秋?宝山区期末）如图，直角三角形，直角顶点在直线上，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点和点．

（1）求证：；

（2）如果．

①求证：；

②若设的三边分别为、、，试用此图证明勾股定理．

9．（2023秋?浦东新区校级期末）综合与实践

【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．

【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然．

（1）请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．

（2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则为，边上的高为．

五．三角形综合题（共22小题）

10．（2023秋?普陀区期末）【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系．如图，已知在△中，是△的角平分线，是△的中线，，垂足为点．

（1）根据图1，写出△中小普同学所发现的结论，并给出证明；

【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究：

（2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由；

（3）已知线段，是否存在一点，使得以为一边的“线垂”三角形为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规作出为“分角”的“线垂”等腰三角形（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点，并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由．

11．（2022秋?青浦区校级期末）已知：如图，在中，，，，点是边的中点．点是射线上的一动点（点不与点重合）．点在的延长线上，且，，垂足为点，交边于点．

（1）求证：；

（2）当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并指出函数的定义域；

（3）当时，直接写出的长．

12．（2023秋?浦东新区期末）如图，在中，，，，点为边上的