第08讲 5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第1课时）（知识清单+13类热点题型讲练+分层强化训练）（解析版）-A4.docxVIP

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第08讲5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

课程标准

学习目标

①理解与掌握两角差与和的余弦公式。

②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。

③能利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式求值（角）、化简、证明等问题的解决

会利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的求值、化简及证明

知识点01：两角和与差的余弦公式

两角和与差的余弦公式

（1）

（2）

①简记符号:,.

②适用条件:公式中的角,是任意角.

【即学即练1】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用两角和的余弦公式求解即可.

【详解】.

故选：D.

知识点02：两角和与差的正弦公式

（1）

（2）

①简记符号:,.

②适用条件:公式中的角,是任意角.

【即学即练2】（23-24高一下·山东济宁·期中）（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用两角和的正弦公式即可.

【详解】.

故选：D.

知识点03：两角和与差的正切公式

两角和与差的正切公式

（1）

（2）

①简记符号:,.

②适用条件:公式中的角,，，，.

③变形结论：

【即学即练3】（23-24高一下·甘肃甘南·期末）（????）

A． B．2 C．1 D．

【答案】A

【分析】逆用两角和的正切公式直接计算即可.

【详解】.

故选：A

题型01两角和与差余弦公式

【典例1】（24-25高一下·全国·随堂练习）已知，，则的值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用同角三角函数基本关系式和两角差的余弦公式，即可求解.

【详解】因为，，则，

所以.

故选：D

【典例2】（24-25高一下·全国·课前预习）已知，，且，，求的值.

【答案】

【分析】根据角所在的象限，利用同角三角函数的基本关系求出，，再用两角和的余弦公式求解即可.

【详解】，，，，

，，

.

又，

【典例3】（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知满足，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意得，将以上两式两边分别平方后相加，变形后可得所求的结果．

【详解】∵，

∴，①

，②

由①②得，

∴．

故选：B

【变式1】（23-24高一下·江苏南京·期中）已知、，且，，则（????）

A． B． C．或 D．或

【答案】B

【分析】根据同角的三角函数关系中平方和关系求出相应角的正弦值，然后运用余弦两角和公式进行求解即可.

【详解】、，且，，

，

，

，

，，

、，

，

，

故选：B

【变式2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知，．求．

【答案】

【分析】可将两式平方，整体构造出求解．

【详解】由已知可得

，

，

两式相加，，

移项可得：，

即，

所以．

【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知，．求．

【答案】

【分析】根据题意得到，利用两角和的余弦公式即可求解．

【详解】，，

，

．

题型02已知两角的正弦，余弦求和差角的余弦

【典例1】（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知，都是锐角，，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用同角三角函数关系得到，，凑角法得到答案.

【详解】因为，，所以，所以，，

所以

.

故选：C

【典例2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则.

【答案】或

【分析】已知，两个角，要求，发现，套用余弦和差角公式得解.

【详解】由题意知：，，

可得：，

当，时，原式；

当，时，原式；

当，时，原式；

当，时，原式；

.

故答案为：或

【典例3】（2024·陕西铜川·二模）已知锐角满足，，则.

【答案】/

【分析】利用同角三角函数关系可求得，代入两角和差余弦公式即可.

【详解】均为锐角，，，

.

故答案为：.

【变式1】（23-24高一下·河北·期末）已知，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出和的值，利用，即可求出的值．

【详解】，

，

故选：A.

【变式2】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知，，，，则（????）

A． B． C． D．或

【答案】B

【分析】利用两角差的余弦可求的值.

【详解】因为，所以，所以，

因为，，

故

又因为，所以，

故选：B.

【变式3】（2024高三·全国·专题练习）若α，β均为锐角，且sinα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ＝．

【答案】

【详解】

因为α为锐角，sinα＝＞，所以＜a＜且cosα＝.因为sin（α＋β）＝，且＜＜，所以＜α＋β＜，所以cos（α＋β）＝－，所以cosβ＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cosα＋s