数值分析-张铁版-第2章-解线性方程组的直接方法.pptVIP

第2章解线性代数方程组的直接法在科学计算中，经常需要求解线性方程组：Gramer(克莱姆)法则若方程组(2.2)的系数矩阵非奇异，则其解可表示为记则

§2.1高斯消去法、顺序Gauss消去法一般地,顺序Gauss消去法:例1解线性方程组回代求解得：以上过程称为顺序Gauss消去法

〔1〕消元过程其中第一步：假设用乘第一行加到第i行中，得到第二步：假设用…….……

第k步：假设用乘第k行加到第i行中，得到其中

第n-1步：……〔2〕回代过程假设那么

算法.

乘除法运算工作量消元过程乘除法次数：回代过程乘除法次数：总的乘除法运算次数：非零判断次数最多为：行交换的元素个数为：

、列主元Gauss消去法例2P.17例2-1

解线性方程组列主元Gauss消去算法

§2.2矩阵三角分解方法2.2.1Gauss消去法的矩阵运算Gauss消去法实际上是对矩阵进行初等行变换的结果，每一次初等行变换相当于对矩阵左乘相应的初等矩阵。具体过程如下

解：由Gauss消去法

下面用矩阵描述列主元消去法

2.2.2直接三角分解法对矩阵的LU分解，除了采用Gauss消去法，还可以直接用矩阵A的元素表示L和U的元素，称为矩阵的直接三角分解.

求解方程组计算公式:于是，解方程组等价于解两个三角形方程组矩阵的直接三角分解也称为Doolittle分解.

当需选主元时，PA=LU.设第r-1步已完成,就有

选主元三角分解算法：

2.2.3平方根法应用有限元法解结构力学问题时，最后归结为求解线性代数方程组，系数矩阵往往对称正定。平方根法是一种对称正定矩阵的三角分解法，广泛用于求解系数矩阵为对称正定的线性代数方程组.设A为对称矩阵,且顺序主子式不为零，那么

假设A为对称正定矩阵,那么

2.2.4追赶法在数值求解常微分方程边值问题、热传导方程和建立三次样条函数时，都会要解三对角方程组：AX=b并且满足条件(i)保证方程组不能降阶，条件(ii)保证可进行三角分解。

下面讨论三角分解比较两边得到

解三对角方程组的追赶法

§2.4向量和矩阵的范数先考虑Rn中向量的长度,然后可定义向量(或矩阵)的范数.为了研究线性方程组的近似解的误差估计和迭代法的收敛性,我们需要对Rn中的向量(或Rnⅹn中的矩阵)的大小引进某种度量——向量(或矩阵)的范数.2.4.1向量的范数(1)正定性：等号当且仅当时成立；(2)齐次性：(3)三角不等式：那么称为向量的范数或模.由(3)得

几种常用范数(无穷范数)(1-范数)(2-范数)(p-范数)可以验证它们都是范数.易见前三种范数是p-范数的特殊情况例4计算向量的几种常用范数

(1)正定性：等号当且仅当时成立；(2)齐次性：(3)三角不等式：那么称为矩阵的范数或模。2.4.2矩阵的范数

例5计算矩阵的几种常用范数解：根据定义

矩阵的范数同矩阵的特征值之间有着密切的关系

§2.5线性方程组固有形态与误差分析2.5.1方程组的固有形态及矩阵的条件数例方程组，准确解为常数项微小变化后，准确解为定义2.6如果矩阵A或常数项b的微小变化,引起线性方程组AX=b的解的巨大变化,那么称此方程组为病态方程组，矩阵A称为病态矩阵,否那么称方程组为良态方程组,矩阵A为良态矩阵.怎样刻画线性方程组的病态性？

如何发现判断矩阵是病态的?如何解决和处理?预处理方法.

例设那么化为那么