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铅球掷远问题的数学模型

颜学友，黄兰香，黄旺林

1．韶关学院2001级数学系数学与应用数学(1)班，广东韶关512005；

2．韶关学院2002级计算机系本科(2)班，广东韶关512005

[摘要]：本文综合考虑铅球的受力情况，抓住出手角度、出手速度、出手高度与投掷距离的关系，从解析几何角度考虑铅球的运动方程，进而得出了反映铅球掷远距离与三者函数关系的模型Ⅰ．为了得到更为合理的数学模型，我们进一步观察整个投掷过程，将整个过程分为滑步用力阶段和展臂脱手两个阶段．再对两个阶段分别进行合理的分析，进一步考虑推力、初速度、加速度、出手速度等因素之间的相互关系，对以上模型进行了改良，得到了更为合理的模型Ⅱ．在以上模型的根底上固定出手高度，求出了最正确出手角度为，,其中．另外，运用数值极差法和图象分析法，得出了速度的灵敏性高于出手角度．

关键词：出手速度；出手角度；出手高度；灵敏性

1问题的提出

铅球掷远比赛要求运发动在直径的圆内将重的铅球投掷在的扇形区域内，如右图．综合分析铅球的运动过程建

立分别符合以下要求的两个数学模型：

1．以出手速度、出手角度、出手高度

为参数，建立铅球掷远的数学模型；

2．考虑运发动推铅球时用力展臂的动

作，改良以上模型．

3．在此根底上，给定出手高度，对于

不同的出手速度，确定最正确出手角度

4．比拟掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性．

2模型的分析

2．1模型Ⅰ

2．1.1模型的假设与符号约定

1忽略空气阻力对铅球运动的影响．

2出手速度与出手角度是相互独立的．

3不考虑铅球脱手前的整个阶段的运动状态．

2．1.2符号约定

v铅球的出手速度

铅球的出手角度

h铅球的出手高度

t铅球的运动时间

L铅球投掷的距离

g地球的重力加速度()

2．1.3问题的分析

问题1要求我们以出手速度、出手角度、出手高度为参数，建立铅球掷远的数学模型．我们只需求出掷远的距离关于三者的函数关系式．这样，我们合理地简化其他影响因素，从物理、数学上得出关系式即可．

2.模型的建立与求解

铅球出手后，由于是在一个竖直平面上运动．我们，以铅球出手点的铅垂方向为y轴，以y轴与地面的交点到铅球落地点方向为x轴构造平面直角坐标系．

xvhy图(1)这样，铅球脱手后的运动路径可用平面直角坐标系表示，如图(1)．因为，铅球出手后，只受重力作用〔假设中忽略空气阻力的影响〕，所以，在x轴上的加速度，在

x

v

h

y

图(1)

如此，从解析几何角度上，以时间

t为参数，易求得铅球的运动方程：

对方程组消去参数t，得

……………(1)

当铅球落地时，即是，代入方程(1)解出x的值

对以上式子化简后得到铅球的掷远模型

………………(2)

2.1.5

以下是我国两名优秀女运发动一次投掷的成绩：

运发动

出手速度v(m/s〕

出手高度h(m)

出手角度

模型一中的L(m)

实测成绩L(m)

A

B

从以上数据，我们可以看出由模型Ⅰ计算的结果与实际投掷距离是比拟吻合的．但也有一定的误差，这是由于我们忽略了过多的因素，下面我们尽量考虑所涉及到的因素建立模型Ⅱ．

2.2模型Ⅱ

模型的假设

1忽略空气阻力对铅球运动的影响．

2手对铅球的推力是一个恒力．

3在铅球脱手前，铅球的运动方向与出手角度一致．

4铅球从静止到运动期间运动的路径是直线的．

5不考虑运发动的身体素质和心理素质对投掷铅球的影响．

6铅球出手瞬间肩部恰在场地边界．

2.2.2

v铅球的出手速度

铅球的出手角度

h铅球的出手高度

g地球的重力加速度()

F手对铅球的推力

m铅球的质量(m=)

铅球出手瞬间肩部的高度

L铅球出手后运动的距离

手臂的长度

铅球加速的距离

S铅球投掷的总成绩

2问题的分析

在模型Ⅰ中，我们假设出手速度和出手角度是相互独立的．事实上，整个投掷过程包括滑步用力阶段和展臂脱手阶段，〔如图(2)〕．它们是相互联系的．所以，模型Ⅰ中假设出手速度和出手角度相互独立是不合理的．现在，我们观察以上两个阶段，铅球从A点运动到B点,其运动状态是匀加速直线运动的,加速距离是段．且出手高度与手臂长及出手角度是有一定的联系，进而合理地细化各个因素对掷远成绩的约束，改良模型Ⅰ．

mgmgsin

mg

mgsin

F

图(3)

A点是作好准备，铅球从静止到运动的瞬间；

B点是铅球脱手的瞬间；

C点是铅球着地点．

C

C

L

Ｂ

h