专题3.5 直线与椭圆的位置关系-重难点题型精讲（教师版）.docx

专题3.5直线与椭圆的位置关系-重难点题型精讲

1．点与椭圆的位置关系

(1)点与椭圆的位置关系：

(2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论：

点在椭圆外+1;

点在椭圆内+1;

点在椭圆上+=1.

2．直线与椭圆的位置关系

(1)直线与椭圆的三种位置关系

类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示.

(2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系：

0直线与椭圆相交有两个公共点;

=0直线与椭圆相切有且只有一个公共点;

0直线与椭圆相离无公共点.

3．弦长问题

(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.

(2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1(ab0)于，两点，

则或.

4．“中点弦问题”

(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法

①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.

②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.

设，，代入椭圆方程+=1(ab0)，

得，

①-②可得+=0，

设线段AB的中点为，当时，有+=0.

因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦

中点轨迹问题的常用方法.

(2)弦的中点与直线的斜率的关系

线段AB是椭圆+=1(ab0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标

为，则弦AB所在直线的斜率为，即.

5．椭圆中的最值问题

求解此类问题一般有以下两种思路：

(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.

(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.

【题型1判断直线与椭圆的位置关系】

【方法点拨】

结合具体条件，根据直线与椭圆的三种位置关系，进行判断，即可得解.

【例1】1．（2022·全国·高二课时练习）已知2b=a+c，则直线ax+by+c=0与椭圆x26+

A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种情况均有可能

【变式1-1】（2022·全国·高二课时练习）直线y=2x?1与椭圆x29+

A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定

【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）直线y=kx+2与椭圆x23+y2

A．63 B．?63 C．±

【变式1-3】（2022·全国·高二课时练习）若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆x29+

A．0 B．1 C．2 D．1或2

【题型2弦长问题】

【方法点拨】

①解决弦长问题，一般运用弦长公式.而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化

运算过程.

②涉及弦长问题，应联立直线与椭圆的方程，并设法消去未知数y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，

由韦达定理得到(或)，代入到弦长公式即可.

【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且斜率为1的直线l

A．247 B．127 C．122

【变式2-1】（2021·甘肃省高二期中（理））已知斜率为1的直线l过椭圆x24+y2=1的右焦点，交椭圆于

A．45 B．65 C．85

【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知直线y=2x+m与椭圆C:x25+y2=1相交于A,B两点，O

A．54221

C．5427

【变式2-3】（2021·江西·高安中学高二期末（文））过椭圆T:x22+y2=1上的焦点F作两条相互垂直的直线l1、l2，l1

A．833,33 B．823

【题型3椭圆的“中点弦”问题】

【方法点拨】

根据“中点弦”问题的两种解题方法进行求解即可.这三种方法中又以点差法最为常用，点差法中体现的

设而不求思想还可以用于解决对称问题，因为这类问题也与弦中点和斜率有关.与弦中点有关的问题有平

行弦的中点轨迹、过定点且被定点平分的弦所在的直线方程等.这类问题的解决，从不同的角度体现了判别

式、根与系数的关系、点差法、椭圆的性质、线段的垂直平分线的性质等知识在直线与椭圆的位置关系中

的作用，解法多、方法活.

【例3】（2020·重庆高二期末）已知椭圆C:x28+y24=1，过点P(2,1)的直线交椭圆于A，B两点，若

A．4113 B．2153