【学案】《6.6.3_球的表面积和体积》 (1).docVIP

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LLL6.3球的表面积和体积

课程内容标准

学科素养凝练

1．理解球的表面积和体积公式．

2．能运用体积公式求解有关的体积问题.

通过学习球的表面积和体积，提升数学抽象及数学运算素养.

1．球的截面

球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆．

用一个平面α去截半径为R的球O的球面得到的是圆，

有以下性质：

(1)若平面α过球心O，则截线是以球心O为圆心的球的圆．

(2)若平面α不过球心O时，如图，不妨设OO′⊥α于点O′，记OO′＝d，对于平面与球面的任意一个公共点P，都满足OO′⊥O′P，则有O′P＝eq\r(R2－d2)，即此时截线是以O′为圆心，以r＝eq\r(R2－d2)为半径的球的小圆．

2．球的切线

(1)定义：当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点．

(2)性质：过球外一点的所有切线的切线长都相等．

3．球的表面积与体积公式

条件

球的半径为R

表面积公式

S＝4πR2

体积公式

V＝eq\f(4,3)πR3

1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)球的表面积等于它的大圆面积的2倍．(×)

(2)两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.(×)

(3)球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面．(√)

(4)球的体积是关于球半径的一个函数．(√)

2．(教材P244练习1改编)直径为6的球的表面积和体积分别是(B)

A．36π，144π B．36π，36π

C．144π，36π D．144π，144π

3．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为()

A．2∶3 B．4∶9

C．eq\r(2)∶eq\r(3) D．eq\r(8)∶eq\r(27)

B[由两球的体积之比为8∶27，可得半径之比为2∶3，故表面积之比是4∶9.]

探究一球的表面积和体积

(1)已知球的表面积为64π，求它的体积；

(2)已知球的体积为eq\f(500,3)π，求它的表面积．

解(1)设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，

所以球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×43＝eq\f(256,3)π．

(2)设球的半径为R，则eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500,3)π，解得R＝5，

所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π．

[方法总结]计算球的表面积和体积的关键是确定球的半径．

[训练1]一个球的表面积是16π，则它的体积是()

A．64π B．eq\f(64π,3)

C．32π D．eq\f(32π,3)

D[设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π.]

探究二球的截面

已知球的两平行截面的面积为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积．

解如图所示，设以r1为半径的截面面积为5π，以r2为半径的截面面积为8π，O1O2＝1，球的半径为R，OO2＝x，那么可得下列关系式：

req\o\al(2,2)＝R2－x2且πreq\o\al(2,2)＝π(R2－x2)＝8π，

req\o\al(2,1)＝R2－(x＋1)2且πreq\o\al(2,1)＝π[R2－(x＋1)2]＝5π，

于是π(R2－x2)－π[R2－(x＋1)2]＝8π－5π，

即R2－x2－R2＋x2＋2x＋1＝3，∴2x＝2，即x＝1．

又∵π(R2－x2)＝8π，∴R2－1＝8，R2＝9，∴R＝3．

球的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π．

[变式]将例2中的条件变为“在半径为R的球面上有A，B，C三点，且AB＝BC＝CA＝3，球心到△ABC所在截面的距离为球半径的一半”，求球的表面积．

解依题意知，△ABC是正三角形，△ABC的外接圆半径r＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×3＝eq\r(3)．

由R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))2＋(eq\r(3))2，得R＝2.所以球的表面积S＝4πR2＝16π．

[方法总结]

(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．

(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2．

[训练2]如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容