新高考数学一轮复习考点精讲精练 第02讲 常用逻辑用语（解析版）.doc

第02讲常用逻辑用语

1．充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p?q且q?p

p是q的必要不充分条件

p?q且q?p

p是q的充要条件

p?q

p是q的既不充分也不必要条件

p?q且q?p

全称量词与存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示．

3．全称量词命题和存在量词命题

名称

全称量词命题

存在量词命题

结构

将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示

对M中任意一个x，p(x)成立

存在M中的元素x，p(x)成立

简记

?x∈M，p(x)

?x∈M，p(x)

否定

?x∈M，p(x)

?x∈M，p(x)

一．充分、必要条件的判定

例1．（1）设，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.

【详解】求解二次不等式可得：或，

据此可知：是的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.

（2）已知，若集合，，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.

【详解】当时，集合，，可得，满足充分性，

若，则或，不满足必要性，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

（3）已知非零向量，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【详解】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，

∴不是的充分条件，

当时，，∴,∴成立，

∴是的必要条件，

综上，“”是“”的必要不充分条件

故选：B.

（4）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【复习指导】：充分条件、必要条件的两种判定方法

(1)定义法：根据p?q，q?p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．

(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．

【答案】C

【分析】根据定义域为R的函数为偶函数等价于进行判断.

【详解】时，,为偶函数；

为偶函数时，对任意的恒成立，

，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.

【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.

二．充分、必要条件的应用

例2．（1）“”的一个必要不充分条件是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由集合的包含关系直接判断即可.

【详解】，

因为，

所以是的必要不充分条件.

故选：B.

（2）若，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先化简命题，再根据是的充分不必要条件得到的取值范围.

【详解】由题得，

因为是的充分不必要条件，

所以对应的集合是对应的集合的真子集，

所以.

故选A

【点睛】本题主要考查根据充分不必要条件求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

（3）“不等式在R上恒成立”的充要条件是（????）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】根据不等式在R上恒成立，求得，再由，说明不等式在R上恒成立，即可得答案.

【详解】∵不等式在R上恒成立，

∴，解得，

又∵，∴，则不等式在R上恒成立，

∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件,

故选:A.

（4）已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是________

【复习指导】：充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

(2)要注意区间端点值的检验．

【答案】

【分析】根据充分条件，必要条件和集合之间的关系等价法，即可求出.

【详解】因为是的充分非必要条件，所以是的真子集．

当，即时，，解得，又因为，所以；

当时，，显然是

的真子集．

综上，实数的取值范围是．

故答案为：.

三