新高考数学一轮复习考点精讲精练 第04讲 幂函数与二次函数（解析版）.doc

第04讲幂函数与二次函数

1．幂函数

(1)幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较

函数

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝

y＝x－1

图象

性质

定义域

R

R

R

{x|x≥0}

{x|x≠0}

值域

R

{y|y≥0}

R

{y|y≥0}

{y|y≠0}

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

非奇非偶函数

奇函数

单调性

在R上单调递增

在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增

在R上单调递增

在[0，＋∞)上单调递增

在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减

公共点

(1,1)

2．一般幂函数的图象特征

(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．

(2)当α0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α1时，幂函数的图象下凸；当0α1时，幂函数的图象上凸．

(3)当α0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．

(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．

(5)在第一象限，作直线x＝a(a1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．

3．二次函数的图象和性质

解析式

f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)

f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)

图象

定义域

R

R

值域

eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))

eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))

单调性

在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；

在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增

在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；

在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减

对称性

函数的图象关于直线x＝－eq\f(b,2a)对称

一．幂函数及其图象和性质

例1．（1）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可

【详解】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个

故选：B

【复习指导】：判断函数为幂函数的方法

(1)自变量x前的系数为1.

(2)底数为自变量x.

(3)指数为常数．

（2）下列命题中正确的是（????）

A．当时，函数的图像是一条直线；

B．幂函数的图像都经过和点；

C．幂函数的定义域为；

D．幂函数的图像不可能出现在第四象限．

【答案】D

【分析】根据幂函数的性质依次分析各选项即可得答案.

【详解】解：对于A，时，函数的图像是一条直线除去点，故错误；

对于B，幂函数的图像都经过点，当指数大于时，都经过点，当指数小于时，不经过点，故B错误；

对于C，函数，故定义域为，故错误；

对于D，由幂函数的性质，幂函数的图像一定过第一象限，不可能出现在第四象限，故正确.

故选：D.

（3）幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断；

【详解】根据幂函数的性质，

在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，

所以由图像得：，

故选：D

（4）已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为(????)

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】首先根据已知条件求出的解析式，再根据的单调性和奇偶性求解即可.

【详解】由题意可知，，解得，，

故，易知，为偶函数且在上单调递减，

又因为，

所以，解得，或.

故的取值范围为.

故选：C.

（5）（多选）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（????）

A．函数为增函数 B．函数为偶函数

C．若，则 D．若，则

【答案】ACD

【分析】先代点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，由可判断C，利用展开和0比即可判断D.

【详解】将点(4,2)代入函数得：，则.

所以，

显然在定义域上为增函数，所以A正确.

的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确.

当时，，即，所以C正确.

当若时，

=

=.

即成立，所以D正确.

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查了幂函数的性质，

（6）若，试求的取值范围.

【答案】

【分析】根据幂函数的定义域，将分成：同时大于零、同时小于