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多项式除法

（1）＝＝

普通带余除法＝（-）--

（2）＝＝

＝（）

2.（3）综合除法

＝＝+2

…

＝＝

3.整除

（1）若+则

证：设的两个复根为即＝＝

由于-1＝（）

所以＝1＝1因为＝且+

故有即

解得＝0＝0所以

（2）如果那么

证明：所以1是的根，于是＝＝0

即故存在多项式使得＝从而有

＝此即

（3）复域实域因式分解

解①令：＝+（＝01……）

复域内恰有个根（＝01……）

＝……

②实域：＝

+＝+＝2

-4＝2-40（＝1……）

故-（+）+1是实数域上的不可约多项式

当为奇数时，有

＝[-+1]……..[-+1]

当为偶数时，有

＝[-+1]……..[-+1]

＝[-2+1]

4.有理根

=++……+是一个整系数多项式而是一个有理根则

例：=

若有有理分肥，遇有理分化为既约分数后其分母为首项系数度4因数，而分子必为常数项-1的因数，所有可能的有理根为1，-1，，-，-

验证有＝-9＝1＝-5＝0＝-＝-

故-是的有理根，又综合除法…….

-是的2重根

5.最大公因式：

（1）若（，）＝1，证明：对任意正整数（，）＝1

（2）（，）＝1，（，）＝1，证明（，）＝1

证明：法2.反证若设（，）＝（）0且是

的一个不可约多项式，则，，但因（，）＝1，所以不整除，

这与（，）＝1矛盾，（，）＝1

（3）若（，）＝1，那么（，+）＝1

证明：由于（，）＝1，存在多项式使得

+＝1

-++＝

（-）+（+）＝1

同理+-+＝

（-）+（+）＝1

由互素的充要条件知

(,+)=1(,+)=1

若（，+）＝，（）0且是

的一个不可约多项式，则且[+]

又(,+)=1，这与(,+)=1

矛盾，（，+）＝1

（4）若（，）＝1（＝1，2….，＝1，2…..）则

（…..，……）＝1

证明由于（，）＝1（＝1，2…..）

首先证明若（，）＝1，（，）＝1（，＝1，2…）

则（，）＝1，若不然，设（，）＝

（）0且是的一个不可约多项式，则且

又（，）＝1，则这与（，）＝1矛盾，

（，）＝1重复此过程，得到（，……）＝1

同理可证（，……）＝1（＝2….）

再次反复应用上述证明过程，便可得到（…..，……）＝1

二，行列式

6.（1）＝＝＝＝＝

（2）＝＝

＝（+）

7.=+＝+......

=+......＝…….＝1-++………..+…

8.=＝（）-

又＝=（）-

整理得-＝………＝

8.基础解系

解：其系数矩阵＝对其只作行的初等变换

原方程与同解

令＝1，＝＝0得＝（1，-2，1，0，0）

令＝＝0，＝1得＝（1，-2，0，1，0）

令＝＝0，＝1得＝（5，-6，0，0，1）

则是方程组的一个基础解系，全部解为

＝++（，，为任意常数）

（2）

解：其系数矩阵＝

原方程与同解，

令＝1，＝0得＝（-1，1，1，0，0）

令＝0，＝1得＝（2，0，-，，1）

则是方程组的一个基础解系，全部解为

＝+（，为任意常数）

9.证明：无关的充要条件+，+，+线性无关

（1）证明：设有线性关系式

（+）+（+）+（+）＝0

即（+）+（+）+（+）＝0

由题设线性无关

解得＝＝＝0

+，+，+线性无关

当奇数个线性无关向量….，则+，+，…….+，+也线性无关

证明:设有线性关系式（+）+（+）+……+（+）＝0

即（+）+（+）+….+（+）＝0

又由….线性无关，则有

其系数矩阵＝

其行列式＝20其方程组只有零解

＝……＝＝0+，+，…….+，+线性无关

（3）若有偶数个线性相关向量….+，+，…….+相关，

若有偶数个线性无关向量….+，+，…….+也相关，

证明：设有线性关系式

（+）+（+）+……+（+）＝0（1）

即（+）+（+）+….+（+）＝0（2）

又①若….线性相关，即（2）式中存在不为零的系数，不妨设为

+不为零，则，至少一个不为零

即，……不全为零，+，+，…….+相关

②若….线性无关，则有

其系数矩阵＝

则＝+＝0

方程组存在非零解即，……不全为零

+，+，…….+相关

10.设＝，＝+，……，＝+…..+

且….线性无关，证明，…..，线性无关