19.2 第4课时 证明举例（辅助线的应用）（解析版）-A4.docx

第PAGE页

19.2第4课时证明举例（辅助线的应用）

知识点一证明思路的分析

1.证明思路

要想证明一个命题是否正确,我们在思考时,可以由最后的结论反着向前追溯证明

2.证明思路的分析方法

先定位清楚题目“要证什么？”，然后再罗列出我们“需知什么”也就是要准备哪些条件,由此再考虑“只要证什么”,一直追溯到“已知”而证明的表述

证明逻辑顺序：“已知”→“可知”→“结论”.

3.证明的一般步骤

(1)分清命题的题设和结论;

如果问题与图形有关，要根据条件画出图形，并在图形上标出有关的字母与符号.

注意：无图几何、“射线”或“直线”等几何问题，我们可能还需要进行分类讨论.

(2)结合图形,写出已知求证;

(3)分析因果关系找出证明途径;

(4)有条理地写出证明过程(每一步推理都要有推理的依据).

知识点二几何证明中常用的证明方法

证明类型

证明方法

证明两直线平行

利用平行线性质判定定理和公理

证明两线段相等

证法1：如果两线段分别在两个三角形中可证两个三角形全等

证法2：如果两线段在一个三角形中，可证它们所对的角

证法3：可以借助一条线段证明两线段都等于第二条

证明两角相等

证法1:利用平行线的性质证两角相等;

证法2：如果两角分别在两个三角形中,可证这两个三角形全等;

证法3：如果两角在一个三角形中，可证它们所对的边相等(等腰三角形的性质)

证明两直线互相垂直

证法1：利用垂直定义;

证法2：利用等腰三角形“三线合一”

题型1简单的证明（辅助线的应用）

解题技巧提炼

通过联结辅助线来证明（8字型）三角形全等，注意公共边的条件.

1．如图，已知，，求证：．

【答案】证明过程见解答．

【分析】连接，证明即可解决问题．

【解答】证明：如图，连接，

在和中，

，

，

．

【点评】主要考查了全等三角形的判定及其性质，解题的关键是构造全等三角形．

2．如图，已知，相交于点，且，，，．

（1）求证：；

（2）求的度数．

【分析】（1）连接，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）根据三角形的外角的性质即可得到结论．

【解答】（1）证明：连接，

在和中，，

，

；

（2），，

．

【点评】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是构造全等三角形．

3．已知：如图，，．求证：．

【分析】连接，根据等边对等角得到，因为，则可以得到，根据等角对等边可得到．

【解答】证明：连接，

，

．

，

．

．

【点评】重点考查了等腰三角形的判定方法，即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．

4．如图，已知平分，于点，．求证：．

【答案】证明见详解．

【分析】延长交于点，利用三线合一可得，再根据外角性质可以证明．

【解答】证明：如图，延长交于点，

平分，，

（三线合一），

（等边对等角），

（外角性质），

．

【点评】本题考查了三角形的外角、等腰三角形的三线合一、角的转化是本题的关键．

5．已知，如图，在中，，，平分，于，交于，求证：．

【答案】证明见解答过程．

【分析】由且平分证得，再根据，，进一步求得，则得，从而得到结论．

【解答】证明：延长、交于点，如图，

平分，

，

于，

，

在和中，

，

，

，

，

于，，

，，，

，

在和中，

，

，

，

．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用角平分线和直角三角形中角之间的关系式，求得三角形的全等，而得到结论．

6．如图，已知点为等腰直角内一点，，，为延长线上的一点，且．

（1）求证：平分；

（2）若点在上，且，求证：．

【分析】（1）由等腰直角得，因，所以，即，可证明，，全等三角形的性质得，再由三角形的外角定理得；

（2）由，，可证明是等边三角形，等边三角形的性质得；又由，，可证明，全等三角形的对应边相等得．

【解答】证明：（1）如图1所示：

在等腰直角中，

，

，

，，

，

由，

，

，

平分，

即平分；

（2）如图2所示，连接，

，且，

是等边三角形，即．

又，

，

．

又，

，，

．

【点评】本题综合考查了等腰三角形，等边三角形和三角形的全等的判定和性质，角平分线的定义和三角形的一个外角与不相邻的内角的关系；难点是作辅助线构建两个三角形全等．

题型2构造平行线证明（辅助线的应用）

解题技巧提炼

先做辅助线构造平行线，然后利用平行线的性质得到边角关系证明三角形全等.

1．如图，已知在中，，是上一点，延长至点，使．联结交于点，求证：．

【答案】证明过程请看解答．

【分析】过点作交于点，由“”可证，可得．

【解答】证明：如图，过点作交于点，

，

，

，

，，

，

，

在和△中，，

．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．

2．如图，中，是边的中点，过点的直