第21讲 画角的和、差与角的平分线 余角、补角（七大题型）（解析版）-A4.docx

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第21讲画角的和、差与角的平分线余角、补角（七大题型）

学习目标

1、了解角的和、差关系，并学会计算；

2.学会角的平分线的定义、作图及有关计算；

3、掌握余角、补角的概念及计算。

1.角的和、差关系

如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．

要点：

(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．

(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．

2.角平分线

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，

∠AOC＝∠BOC=∠AOB．

要点：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．

角平分线的画法：①用量角器作角平分线

例5如图4-2-19,已知∠ABC,画出它的平分线.

解如图4-2-20,

①用量角器量得∠ABC=48°,所以

②以B为顶点，射线BA为一边，在∠ABC的内部用量角器画∠ABM=24.BM就是所要画的∠ABC的平分线.

②尺规作角的平分线

下面我们探究用尺规作角的平分线．

已知：∠AOB.

求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC.

作法：

(1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；

(2)分别以D，E为圆心，以大于eq\f(1,2)DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；

(3)作射线OC.

OC就是∠AOB的平分线(如图)．

3、余角和补角

1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．

类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．

2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．

要点：

(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．

(2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α)．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。

【即学即练1】如图，点O在直线上，射线平分，若，则的大小为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考查了角平分线的定义，由角平分线可知，即可求出的大小．

【解析】解：射线平分，

，

，

，

，

故选：C．

【即学即练2】已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标明字母）

【答案】见解析

【分析】根据用尺规作图作角等于已知角作图即可．

【解析】解：分别以∠α、∠β的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交∠α、∠β的边于P、Q、M、N；

作射线OB，以O为圆心，以相同长度为半径作一个优弧，交射线OB于点C，以C为圆心，PQ的长度为半径作弧，交优弧于点D，作射线OD，再以D为圆心，PQ的长为半径作弧，交优弧（∠DOB外部）于点E，作射线OE，然后以E为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠EOB内部）于点A，作射线OA，如图所示：∠AOB=2∠α-∠β，∠AOB即为所求．

【点睛】此题考查的是用尺规作图作角等于已知角，掌握用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键．

【即学即练3】如图，为内一条射线，下列条件中能确定平分的是（????）

??

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】直接利用角平分线的定义分别分析得出答案．

【解析】解：A、，不能确定平分，故此选项不合题意；

B、，不能确定平分，故此选项不合题意；

C、，能确定平分，故此选项符合题意；

D、不能确定平分，故此选项不合题意．

故选：C．

【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，正确把握角平分线的定义是解题关键．

【即学即练4】已知，则的余角的大小是．

【答案】

【分析】本题考查了余角的定义，根据余角的定义即可求解

【解析】解：的余角的大小是，

故答案为：．

【即学即练5】一个角的余角比它的补角的还多，求这个角．

【答案】

【分析】

先设出这个角的度数为，可写出它的余角为，补角为，根据题意，可得出余角和补角之间的一个等量关系，解之即可求得这个角的度数．

【解析】

解：设这个角为，则它的余角为，补角为，

根据题意得，，

解之得，，

答：这个角等于．

【点睛】本题考查了角的互