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球形物体空气阻力大小与速率关系的研究

作者：贾子朋

来源：《发明与创新·高中生》2024年第03期

????????本期点评专家

????????张永强正高级教师，湖南省十佳科技教师。科普中国2021年十大科普人物奖获得者，全国校园发明创意大赛、湖南省青少年科技创新大赛、湖南省创新编程与智能设计大赛、湖南省科学调查体验活动评审专家组成员。

????????本研究主题来自人教版高一物理必修一册“课题研究”，书中样例以悬挂重物、缓慢下落的气球为研究对象，在研究的过程中不断增加重物的质量，并且忽略了空气阻力对重物的影响。我校高一年级开展研究性学习的时候，物理老师将其列入高一研究性学习课题清单，并要求使用和教材不同的研究对象和实验方法。

????????经过阅读文献和学习，我以可控制电磁铁的光电计数器为主要装置，研究光滑金属小球自由下落过程中，所受空气阻力与运动速率的定量关系。具体方法为：由牛顿第二定律列出运动方程，推导阻力与速度的系数公式，通过实验数据计算系数值并分析结论。

????????一、理论推导

????????光滑金属小球在短距离内下落的速率相对较慢，可认为它受到的空气阻力和运动速率成正比。设空气阻力为f，某一点的瞬时速率为v，空气阻力与速率的系数k=，根据牛顿第二定律可得

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????????通过积分解得

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????????进而得到

????????公式（2）表明，只要测出m（小球质量）、v（小球过测量点的速率）、t（小球到测量点的时间），即可计算系数k。

????????二、考虑空气阻力的自由落体位移公式

????????推导考虑在当前空气阻力系数的条件下，自由落体下落位移（距离）与时间的关系。由公式（1）得

????????令y为经时间t时球体已经下落的位移，求得

????????三、探究过程

????????（一）实验设计

????????实验装置如图1所示。

????????组装实验器材，用水平尺将支架调至基本垂直状态。将重锤自电磁铁垂下，微调支架和光电门的位置，让垂线遮挡光电门。把小球吸在电磁铁正下方，上光电门紧贴小球下端（不接触）。

????????关闭电磁铁电源，小球做自由落体运动，光电计数器自动计算小球经过两个光电门的遮挡时间和经过两个光电门所用时间。重复多次实验。保持上光电门的位置不变，改变下光电门位置，重复步骤3至步骤5多次。最后计算空气阻力系数k。

????????作者有话说：我使用简单易得的实验装置、简洁清晰的理论推导完成了本课题的研究。该研究锻炼了我的物理基础分析和实验操作能力，对学习微积分也有很大的帮助，尤其让我深切地认识到微积分在物理学研究中的重要作用。

????????（二）基础数据

????????经测量，小球质量0.017kg，直径0.0163m。用高德地图工具查知实验所在地纬度，用地理纬度与海拔高度计算重力加速度的近似值g≈9.80912m/s2。

????????由于小球经过光电门时姿态不可控，不会刚好以轴线对准光电门光线，遮光距离并非小球直径。我假定在多次实验的情况下，遮光的平均距离与直径为黄金分割关系，估算得出遮光距离l=0.010073m。

????????（三）实验数据

????????表1是经过3轮、每轮重复5次后记录的实验数据。

????????公式（2）中时间t是小球从静止下落到下光电门的时间，实验装置只能给出小球经过两个光电门的时间t落2。上光电门距初始位置非常近，忽略空气阻力的影响，由匀加速运动的速度公式v=at，计算得t落1约为30.96ms。表2为实验计算结果。

????????（四）数据分析

????????根据表2每轮实验数据计算得到的阻力系数k不同，分析有如下原因：通过标尺读数记录的光电门位置有误差；吸附小球时可能因触碰导致金属片支架形变，改变了实际下落距离；遮光距离用黄金分割关系估算；计算小球从静止到第1个光电门时间时忽略了空气阻力；光电计数器、电子秤、电子游标卡尺等仪器本就存在误差。

????????综上，对表2中的阻力系数k求算数平均值没有价值，所以我尝试计算它们的调和平均数，计算求得k=15.1639。将各项数据代入公式（3）可以得到表3。

????????使用k计算的下落距离与实际测量值非常接近，至此认为：“空气阻力和小球的运动速率成正比”这一假设成立。

????????四、结论与展望

????????（一）研究结论

????????我假定空气阻力与球体运动速率成正比，根据牛顿第二定律和自由落体公式建立方程，得出阻力系数与速率的函数关系，自己设计装置进行研究，得到了较满意的结果。经比较，金属小球自由落体时所受重力与空气阻力的大小差一个数量级，这是因为在测量重力加速度时忽略了空气的阻力。

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