高中数学苏教版必修第二册：二面角.docx

教学设计

课程基本信息

学科

数学

年级

高一

学期

秋季

课题

二面角

教学目标

经历二面角的概念的形成过程，认识二面角的图形，理解二面角的定义及相关概念，感悟类比的数学思想，提升数学抽象、直观想象素养；

经历二面角的度量的探究过程，会构造二面角的平面角，体会类比、降维转化思想在知识建构与问题解决中发挥的作用，培养严谨的理性思维和善于思考的科学精神；

在交流与合作的学习过程中，探索、理解二面角的平面角的构造合理性，培养数学表达能力与合作精神，促进创新思维的发展.

教学重难点

教学重点：

构造二面角的平面角。

教学难点：

理解二面角的平面角构造的合理性。

教学过程

情境问题

展示中央电视台《辉煌中国》纪录片中关于光伏板的片段，由一幅静图和一幅动图，引导学生思考以下问题：

问题1：图一中蕴含了哪些几何元素间的位置关系？

问题2：图二中光伏板转动时，两个平面间的哪个量在变化？

设计意图：启发学生从实际情境中抽象出数学问题，体现研究二面角的必要性与意义，培养学生的民族自豪感.

二、分析探究

直线上的一点可以将直线分成两部分，每一部分称为射线，类似的，平面内的一条直线可以将平面分成两部分，每一部分称为半平面。

在平面内，当两条直线相交时，会形成四个（0，π）范围内的角，同样，当空间中两个面相交时，也形成四个可以度量角度的区域，即四个二面角。

问题3：在平面内，角的定义是从一点出发的两条射线所组成的图形。你能类比角的概念，给出空间中二面角的定义吗？

空间中从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。两个半平面的公共直线，称为二面角的棱，两个面称为二面角的面，并介绍二面角的四种表示方法：α?l?β，α?AB?β，

设计意图：（1）以学生为课堂主体，鼓励学生大胆定义新概念，落实“理解二面角的定义”的教学目标；

（2）感悟类比思想，发展数学抽象、逻辑推理素养；

（3）启发学生用数学的眼光观察世界，收获学习数学的自信。

问题4：二面角是一个空间图形，请同学们观察，在我们身边有哪些二面角的形象？

门和门框，投影台的展板和墙面，书本的两面，墙壁与墙壁……同学们的观察都非常的细致，老师给大家举两个例子，例如，小到蛋白质结构中多肽链的贝塔折叠，大到我国北斗卫星轨道面与赤道面的夹角，都可以抽象成二面角的模型。

设计意图：（1）极微观和极宏观的科学情境，突出二面角度量的重要性，调动学生的求知热情；（2）渗透将立体问题转化为平面问题的降维转化思想；（3）即学即用，实现课堂知识的正迁移。

问题5：像刚刚同学所说的，门所在平面与门框所在平面也可以构成一个二面角，有时门开得大些，有时门开得小些，你将如何刻画这种大与小呢？即，我们如何度量二面角的大小呢？

我们刚刚把平面类比到空间，我们也可以把空间图形二面角的大小用平面上角的大小来刻画，这是由二面角的概念启发而来的。

设计意图：从平面内角的定义到空间中二面角的定义，从空间中二面角的大学到平面内角的大小，体现了求二面角大小的一般方法：降维思想

问题6：下面，就请同学们继续思考，我们要如何构造平面内的角呢？

取棱上一点，在两个平面内分别做垂直于棱的两条射线，看起来是比较合理的。

老师有三个问题：（1）为什么将角的顶点取在棱上？

我们直观感觉好像是这样，请大家回顾我们是如何度量平面的斜线与平面的所成角的呢？我们是通过去寻找斜线和它在平面上的投影，用斜桥与它的投影所成的角来度量斜线与平面所成角，这个角顶点就是斜线与平面的交点，即这两个对象的公共点上，类似的，我们要刻画一个二面角，我们是不是也应该将顶点取在两个面的公共点上，大家觉得这样合理吧？

（2）当二面角α?l?β给定时，∠AOB的大小与点O在棱上的取法有关吗？

没有关系，为什么？我们可以在棱上再任取一点，分别做垂直于棱的两条射线，可以得到两个相等的角。那么为什么这两个角相等？是根据等角定理，当两个角的两边分别平行且方向相同，则这两个角是相等的。所以我们知道，二面角的大小与点O在棱上的位置无关。

（3）为什么角的两边与棱垂直，不垂直可以吗？

要判定所构造的角是否合理：除了角的大小要唯一确定之外，还要看是否与二面角的直观大小一致？

活动一：折纸将16K白纸对折成二面角，在二面角内用铅笔画出不同的角：

1.角的两边与棱垂直；2.有一条边不与棱垂直，请验证哪种作法更合理。

很明显，当两直线都垂直于棱时，无论如何变化顶点位置，大小都是唯一的，且当两个半平面重合，垂直，反向时，∠AOB分别是0°，90°，180°，这与直观是相符的。而当一直线不垂直于棱时，首先不符合直观，其次不符合唯一性，下面刘老师用软件更清晰的展示一下

（GGB软件展示）

设计意图：（1）在实践中体验二面角的平面角的建构过程，在交流中互相启发；

（2）突破教学难点：理解二面角