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专题19四边形中的动图问题（解析版）

类型一平行四边形及特殊平行四边形的存在性问题

1．如图，平行四边形OABC的顶点O为坐标原点，A点在X轴正半轴上，∠COA＝60°，OA＝10cm，OC

＝4cm，点P从C点出发沿CB方向，以1cm/s的速度向点B运动；点Q从A点同时出发沿AO方向，

以3cm/s的速度向原点运动，其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动．

（1）求点C，B的坐标（结果用根号表示）

（2）从运动开始，经过多少时间，四边形OCPQ是平行四边形；

（3）在点P、Q运动过程中，四边形OCPQ有可能成为菱形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明

理由．

思路引领：（1）过C作CE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，根据直角三角形的性质算出OE的长，再

利用勾股定理即可求出CE的长，从而得到C点坐标；根据平行线间的距离相等可知CE＝BF＝23，再

证明Rt△COE≌Rt△BAF，从而得到AF的长，即可得到B点坐标；

（2）根据平行四边形的性质可知CP＝OQ，设时间为x秒，表示出OQ、CP的长，可得到方程10﹣3x＝

x，解方程即可；

（3）如果四边形OCPQ菱形，则CO＝QO＝CP＝4cm，根据运动速度，算出运动时间，计算可发现不

能成为菱形．

解：（1）过C作CE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，

∵∠COA＝60°，

∴∠1＝30°，

1

∴OE=CO＝2cm，

2

在Rt△COE中，CE=2−2=16−4=23，

∴C点坐标是（2，23），

∵四边形OABC是平行四边形，

∴CO＝AB，CO∥AB，

∵CE⊥OA，过B作BF⊥OA，

∴CE＝BF＝23（平行线之间的距离相等），

∴Rt△COE≌Rt△BAF，

∴AF＝EO＝2，

∴OF＝OA+AF＝12（cm），

∴B点坐标是（12，23）；

（2）设从运动开始，经过x秒，四边形OCPQ是平行四边形，

10﹣3x＝x，

解得：x＝2.5，

故运动开始，经过2.5秒，四边形OCPQ是平行四边形；

（3）不能成为菱形，

如果四边形OCPQ菱形，则CO＝QO＝CP＝4cm，

∵OA＝10cm，

∴AQ＝10﹣4＝6（cm），

则Q的运动时间是：6÷3＝2（秒），

这时CP＝2×1＝2（cm）

∵CP≠4cm，

∴四边形OCPQ不能成为菱形．

总结提升：此题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质，直角梯形的性质，菱形的性质，是一道综

合题，关键是需要同学们熟练掌握各种特殊四边形的性质，并能熟练应用．

2．（2022春•广信区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，

运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是

1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．

（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；

（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；

（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．

思路引领：（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，据此求得t的值；

（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ＝CQ，列方程求得运动的时间t；

（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长＝4×10，根据菱形的面积求出面积即可．

解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，

∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，

由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，

在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥B