期末复习之与轴对称图形有关的热考几何模型（解析版）.docxVIP

与轴对称图形有关的热考几何模型

（考题猜想，热考+压轴必刷40题10种题型）

折叠模型

双垂直平分线导角

见等腰，构造三线合一

平行平分出等腰

等腰三角形双腰上的高求定值

等边三角形类弦图模型

手拉手模型

将军饮马问题

三动点问题

逆等线问题

一．折叠模型（共4小题）

1．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图，∠AOB=α，点M是射线OA上的一个定点，点N是射线OB上的一个动点，连结MN，把∠AOB沿MN折叠，点O落在∠AOB所在平面内的点

(1)如图1，点C在∠AOB的内部，若∠CMA=20°，∠CNB=60°，则α=___°．

(2)如图2，若α=45°，ON=2，折叠后点C在直线OB上方，CM与OB交于点E，且MN=ME，求∠OMN的度数及折痕MN

(3)如图3，若折叠后，直线MC⊥OB，垂足为点E，且OM=5，ME=3，直接写出此时ON的长．

【答案】(1)40；

(2)30°，

(3)ON=52或

【分析】（1）由对折的性质得：∠OMN=∠CMN，∠ONM=∠CNM，由∠CMA=20°及∠CNB=60°，则可求得

（2）设∠OMN=α，由折叠知，∠NME=∠OMN=α；由三角形外角的性质及等腰三角形性质得：∠MEN=∠MNE=∠O+∠OMN=45°+α，由三角形内角和即可求得α的度数；过N点作ND⊥OM于D，则易得OD=ND=1；再由含30度直角三角形的性质得MN=2ND=2；

（3）由勾股定理OE=4；分两种情况：①当点N在线段OE上时；②当点N在线段OE延长线上时；设ON=x，利用勾股定理建立方程求出x即可．

【详解】（1）解：由对折的性质得：∠OMN=∠CMN，

∵∠OMN+∠CMN+∠ACM=180°，∠ONM+∠CNM+∠CNB=180°，

且∠CMA=20°，∠CNB=60°，

∴∠OMN=1

∴a=180°-∠OMN-∠ONM=180°-80°-60°=40°，

故答案为：40；

（2）解：设∠OMN=a，

由折叠知，∠NME=∠OMN=a；

∵MN=ME，∠MNE=∠O+∠OMN，

∴∠MEN=∠MNE=45°+a，

∵∠MNE+∠MEN+∠NME=180°，

∴2(45°+a)+a=180°，

解得：a=30°，

即∠OMN=30°；

如图，过N点作ND⊥OM于D，

则∠OND=∠O=45°，

∴OD=ND，

由勾股定理得：2OD

∴OD=ND=1；

∵ND⊥OM，

∴MN=2ND=2；

（3）解：∵MC⊥OB，

∴OE=O

①当点N在线段OE上时，如图，

设ON=x，由折叠性质得：CN=ON=x，CM=OM=5，

∴NE=OE-ON=4-x，CE=CM-ME=5-3=2；

∵MC⊥OB，

∴NE

即(4-x)2

解得：x=5

即ON=5

②当点N在线段OE延长线上时，如图，

设ON=x，由折叠性质得：CN=ON=x，CM=OM=5，

∴NE=ON-OE=x-4，CE=CM+ME=5+3=8；

∵MC⊥OB，

∴NE

即(x-4)2

解得：x=10；

即ON=10；

综上，ON=52或

【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．

2．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）八上数学课本69页，数学活动《折纸与证明》中告诉我们：折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法，请用所学知识解决下列问题．

（1）如图1，一个三角形的纸片中，MCMB，证明：∠MBC∠MCB．

小龙同学通过折叠纸片，将MB折叠到MC上，点B与点D重合，展开后得到折痕ME，如图2，折痕ME交BC于点E，连接DE．

帮助小龙同学写出证明过程．

（2）如图3，在平面直角坐标系中，点B-107,237，点C2,5

①求点E坐标；

②直线l过点C，交y轴于点M，且∠ECM=45°，直线l沿y轴翻折恰好经过点B，只用圆规在直线BM上求作点G，使EG与直线BM所夹的锐角等于∠ECM．（不写作法，保留作图痕迹）

③直接写出（2）中点G的坐标．

【答案】（1）见解析；（2）①E0,4；②见解析；③-2,5，-1,2

【分析】（1）由折叠的性质得到∠MDE=∠MBC，再根据三角形外角的性质即可证明；

（2）①先利用待定系数法求出直线BC的解析式，令x=0，求出y的值，即可得到点E的坐标；②以点E为圆心，EC为半径画弧，交直线BM于点G，点G，点G，点G为所求；③先利用对称的性质求出点G的坐标，再利用待定系数法求出直线BM的解析式为y=-3x-1，根据

【详解】（1）证明：由折叠的性质得：∠MDE=∠MBC，

∵∠MDE=∠MCB+∠CED，

∴∠MDE∠MCB，

∴∠MBC∠MCB；

（2）解：①设直线BC的解析式为y=kx+bk≠0

将B-