27.1.2 第2课时 垂径定理 教案 2024-2025学年数学华东师大版九年级下册.docVIP

第27章圆

27.1圆的认识

2.圆的对称性

第2课时垂径定理

一、教学目标

掌握垂径定理及其推论，理解垂径定理的推导过程，并能运用垂径定理解决相关问题.

二、教学重难点

重点：理解垂径定理和推论的内容，并会证明，利用垂径定理解决与圆有关的问题.

难点：利用垂径定理及其推论解决实际问题.

三、教学过程

【新课导入】

[情境导入]

你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

【新知探究】

（一）垂径定理及其推论

[提出问题]

做一做：剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦，垂足为点P，再将纸片沿着直径CD对折，分别比较AP与BP、弧AC与弧BC，你能发现什么结论？

[交流讨论]

小组之间交流讨论.得出结论：对折后，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，弧AC和弧BC,弧AD与弧BD重合，即它们都是相等的.

试一试：能不能用所学过的知识证明你的结论？

已知：在在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P.

求证：AP=BP，.

证明：连结CA、CB、OA、OB，则OA=OB,即△AOB是等腰三角形.

∵CD⊥AB,∴AP=BP.

又∵CP=CP，∴Rt△APC≌Rt△BPC.

∴AC=BC，

∴（在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧相等）.

由此易得.

[归纳总结]

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.

几何语言描述：

∵CD是直径，CD⊥AB，(条件)

∴AP=BP，.(结论)

想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？

是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心

垂径定理的几个基本图形

[提出问题]

猜想：如果把垂径定理(垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧)结论与题设交换一条，命题是真命题吗？

①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.

上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？

[证明猜想]

①CD是直径；②CD⊥AB，垂足为E；③AE=BE；④弧AC=弧BC；⑤弧AD=弧BD.

举例证明其中一种组合方法.

已知:

求证：

如：已知：①CD是直径；③AE=BE.

求证：②CD⊥AB，垂足为E；④弧AC=弧BC；⑤弧AD=弧BD.

[证明举例]

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AM=BM.

（1）CD⊥AB吗？为什么？

（2）弧AC与弧BC相等吗？弧AD与弧BD相等吗？为什么？

解：（1）连结AO,BO,则AO=BO,

又AM=BM，∴△AOM≌△BOM（SSS），

∴∠AMO=∠BMO=90°，

∴CD⊥AB.

（2）由垂径定理可得弧AC弧=BC，弧AD=弧BD.

[归纳总结]

垂径定理的推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；

几何语言描述：

∵CD是直径，AE=BE，(条件)

∴AB⊥CD，.(结论)

平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.

几何语言描述：

∵CD是直径，（或），(条件)

∴AB⊥CD,AE=BE.(结论)

思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.

特别说明：圆的两条直径是互相平分的.

垂径定理的本质：

（二）垂径定理及其推论的计算

【例1】如图，⊙O的半径长为10，OC⊥AB，垂足为E.若OE=6，则弦AB的长为16.

【解析】连结OA,在Rt△AOE中，由勾股定理，得AE==8.由垂径定理，得AB=2AE=16.

【例2】如图，⊙O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.

解：连接OA.∵CE⊥AB于点D，

∴AD=AB=4cm.

设OC=xcm，则OD=(x-2)cm,根据勾股定理，得x2=42+(x-2)2，

解得x=5，即半径OC的长为5cm.

[实际应用]

【例3】你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.

经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.

∴AB=37m，CD=7.23m.

∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=（R-7.23）m.

在Rt△AOD中，由勾股定理，得R2=18.52+(R-7.23)2.

解得R≈27.3.即主桥拱半径约为27.3m.

【例4】如图1、2,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则