27.1.3 第2课时 圆周角定理的推论 教案 2024-2025学年数学华东师大版九年级下册.docVIP

第27章圆

27.1圆的认识

3.圆周角

第2课时圆周角定理的推论

一、教学目标

1.能够理解和掌握圆周角定理的推论；

2.了解圆周角和直径的关系以及圆内接四边形的概念.

二、教学重难点

重点：能运用圆周角定理的推论解决简单的证明或计算.

难点：理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.

三、教学过程

【新课导入】

[情境导入]如图所示，在这个圆形人工湖边上造4个休息亭(即A，B，C，D)，用仪器测得∠A＝75°，∠B＝65°，能求出另两个角∠C和∠D的度数吗？需要哪些数据可以求该圆形人工湖的直径？

【新知探究】

（一）圆周角定理的推论1

[提出问题]上一课时我们证明了半圆或直径所对的圆周角都是90°，那么反过来,如图,圆周角∠BAC=90°,弦BC是直径吗?为什么?

[分组讨论]小组之间交流讨论.得出结论:弦BC是直径.证明如下：连接OB,OC,∵圆周角∠BAC=90°,∴圆心角∠BOC=180°,即BOC是一条线段,∴BC是☉O的一条直径.

注意：这里要分别连接OB,OC,而不是直接连接BC.

[归纳总结]圆周角定理的推论1:90°的圆周角所对的弦是直径.

【例1】从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是(B)

【例2】如图所示，已知经过原点的⊙P与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是弧AB上一点，则∠ACB的度数是（B）

A.80°B.90°C.100°D.无法确定

【解析】连接AB∵∠AOB=90°，∴AB是⊙P的直径.∴∠ACB=90°.

总结：

1.有直径，通常作直径所对的圆周角，从而得出两直线互相垂直，简记为“见直径作直角”.

2.有90°的圆周角，通常作直径，简记为“有直角作直径”.

（二）圆周角定理的推论2

1.圆内接多边形

定义：如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形.

2.圆周角定理的推论2

[提出问题]

问题1：如图,A,B,C,D是☉O上的四点,AC为☉O的直径,请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系?

[分组讨论]小组之间交流讨论.得出结论:∠BAD+∠BCD=180°.理由如下:∵AC为☉O的直径,∴∠ADC=∠ABC=90°,∴∠BAD+∠BCD=180°.

问题2：在☉O上移动点C，如图,∠BAD与∠BCD之间的关系还成立吗?

[分组讨论]小组之间交流讨论.得出结论:∠BAD与∠BCD之间的关系还成立.理由如下:∵优弧BCD和劣弧BAD的度数和为360°,那么它们所对的圆心角的和也是360°,∴它们所对的圆周角∠BAD和∠BCD的和是180°.

[归纳总结]

圆周角定理的推论2：圆内接四边形的对角互补.

【例3】四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C=70°，∠D=100°.

【例4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E是CB的延长线上一点，∠EBA＝125°，则∠D＝(C)

A．65°B．120°C．125°D．130°

【例5】在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比是2︰3︰4.求这个四边形各角的度数.

解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为2x，3x，4x，

∵四边形ABCD内接于圆，

∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°，

∵2x+4x=180，∴x=30.

∴∠A=60°，∠B=90°，∠C=120°，∠D=180°-90°=90°.

【课堂小结】

一、圆周角定理的推论1

90°的圆周角所对的弦是直径.

二、圆内接多边形的定义

如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形.

三、圆周角定理的推论2

圆内接四边形的对角互补.

【课堂训练】

1.（2023西藏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE=65°，则∠BOD的度数是（C）

A．65° B．115° C．130° D．140°

2.（2023泰安）如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC=115°，则∠BAC的度数是（A）

A．25° B．30° C．35° D．40°

3.（2022日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm,BC=5cm,则圆形镜面的半径为cm．

4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的度数是（B）

A．55° B．60° C．65° D．70°

5.如图，O为坐标原点，点E的坐标为（0，4），点