高考数学一轮复习（新高考版） 第4章　必刷小题8　解三角形.docx

必刷小题8解三角形

一、单项选择题

1．(2024·楚雄模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq\r(2)b，sinA＝eq\f(1,3)，则sinB等于()

A.eq\f(\r(2),3)B.eq\f(\r(7),3)C.eq\f(\r(2),6)D.eq\f(\r(34),6)

答案C

解析因为a＝eq\r(2)b，所以eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2).

由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，

则sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,3)＝eq\f(\r(2),6).

2．(2023·沈阳模拟)在△ABC中，若a＝bcosC，则△ABC是()

A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．等腰三角形

答案C

解析由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，

将其代入a＝bcosC，

得a＝b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－c2,2a)，

∴2a2＝a2＋b2－c2，

∴a2＋c2＝b2，即△ABC为直角三角形．

3．(2024·南京模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知9sin2B＝4sin2A，cosC＝eq\f(1,4)，则eq\f(c,a)等于()

A.eq\f(\r(11),4)B.eq\f(\r(10),4)C.eq\f(\r(11),3)D.eq\f(\r(10),3)

答案D

解析∵9sin2B＝4sin2A，∴9b2＝4a2，即b＝eq\f(2a,3)，

∵cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋\f(4a2,9)－c2,\f(4a2,3))＝eq\f(1,4)，

∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＝eq\f(10,9)，则eq\f(c,a)＝eq\f(\r(10),3).

4．(2023·咸阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A＝60°，b＝1，eq\f(b＋c,sinB＋sinC)＝eq\f(2\r(3),3)，则△ABC的面积为()

A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)

答案B

解析在△ABC中，由正弦定理得

eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，

所以eq\f(a,sinA)＝eq\f(b＋c,sinB＋sinC)＝eq\f(2\r(3),3)，

则a＝eq\f(2\r(3),3)sinA＝eq\f(2\r(3),3)sin60°＝eq\f(2\r(3),3)×eq\f(\r(3),2)＝1，

又b＝1，A＝60°，

所以△ABC是正三角形，

所以△ABC的面积S△ABC＝eq\f(1,2)absin60°＝eq\f(\r(3),4).

5．(2023·太原模拟)在△ABC中，A＝eq\f(π,4)，BD⊥AC，D为垂足，若AC＝4BD，则cos∠ABC等于()

A．－eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(5),5)C．－eq\f(2\r(5),5)D.eq\f(2\r(5),5)

答案A

解析在△ABC中，A＝eq\f(π,4)，BD⊥AC，D为垂足，

又AC＝4BD，不妨设BD＝t，

则AD＝t，AB＝eq\r(2)t，AC＝4t，CD＝3t，BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝eq\r(10)t，

则cos∠ABC＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2×AB×BC)＝eq\f(?\r(2)t?2＋?\r(10)t?2－?4t?2,2×\r(2)t×\r(10)t)＝－eq\f(\r(5),5).

6．(2023·达州模拟)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10eq\r(2)m，并在C处测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB等于()

A．30eq\r(2)m B．20eq\r(3)m

C．30m D．20m

答案D

解析在△BCD中，∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10eq\r(2)m，

由正弦定理eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(CB,sin∠CDB)，

可得eq\f(10\r(2),sin30°)