新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第01讲 平面向量的概念及其线性运算 (高频精讲）（解析版）.doc

第01讲平面向量的概念及其线性运算(精讲）

目录

TOC\o1-3\h\u第01讲平面向量的概念及其线性运算(精讲） 1

第一部分：知识点必背 2

1、向量的有关概念 2

2、向量的线性运算 2

2.1向量的加法 2

2.2向量的减法 2

2.3向量的数乘 3

第二部分：高频考点一遍过 4

高频考点一：平面向量的概念 4

角度1：平面向量的概念与表示 4

角度2：模 6

角度3：零向量与单位向量 10

角度4：相等向量 12

高频考点二：向量的线性运算 16

角度1：平面向量的加法与减法 16

角度2：平面向量的数乘 18

高频考点三：共线向量定理的应用 22

第三部分：数学文化题 29

温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头

第一部分：知识点必背

1、向量的有关概念

（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)

向量表示方法：向量或；模或.

（2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作.

（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示.

特别的：非零向量的单位向量是.

（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为；

特别的：与任一向量平行或共线.

（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作.

（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作.

2、向量的线性运算

2.1向量的加法

①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.

②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）

已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.

③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）

已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.

2.2向量的减法

①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即.

②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）

已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示

如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.

2.3向量的数乘

向量数乘的定义:

一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：

①

②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.

3、共线向量定理

①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.

②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一．

4、常用结论

4.1向量三角不等式

①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）；

②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）；

记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立；

4.2中点公式的向量形式：

若为线段的中点，为平面内任意一点，则.

4.3三点共线等价形式：

（，为实数），若，，三点共线

第二部分：高频考点一遍过

高频考点一：平面向量的概念

角度1：平面向量的概念与表示

典型例题

例题1．（2023春·广东广州·高一广州市真光中学校考阶段练习）关于向量，，下列命题中，正确的是（????）．

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，则

【答案】B

【详解】向量是既有大小又有方向的量，大小相等，但方向不一定相同，故A错误；

若，得方向相反，则，故B正确；

当，与不一定平行，故C错误；

尽管两个向量的模有大小之分，但两个向量是不能比较大小的，故D错误；

故选：B．

例题2．（2023春·陕西西安·高一西安市第六中学校联考阶段练习）下列说法正确的是（?????）

①有向线段三要素是始点、方向、长度；????????

②向量两要素是大小和方向；

③同向且等长的有向线段表示同一向量；?????????

④在平行四边形中，．

A．① B．①② C．①②③ D．①②③④

【答案】D

【详解】由有向线段、向量、同一向量的定义可以判断①②③正确，

由平行四边形的性质可知，显然④正确，

故选：D

例题3．（多选）（2023春·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考阶段练习）下列说法中错误的是（????）

A．单位向量都相等 B．对于任意向量，，必有

C．平行向量不一定是共线向量 D．若，满足且与