新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第02讲 等差数列及其前n项和 (分层精练）（解析版）.doc

第02讲等差数列及其前项和

A夯实基础B能力提升C综合素养

A夯实基础

一、单选题

1．（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如将一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数．如图所示，三角形数，，，……在这个自然数中三角形数的个数是（）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由题意知，，……

可归纳为，则，，

故在中三角形数的个数为个.

故选：A．

2．（2023春·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）若一个等差数列的前7项和为21，则该等差数列的第4项为（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【详解】因为第4项为该等差数列前7项的中间项，

所以，

故选：B.

3．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知数列为等差数列，且满足，，则的值为（????）

A．2033 B．2123 C．123 D．0

【答案】D

【详解】设等差数列的公差为，则，

所以，

故选：D.

4．（2023·全国·高三专题练习）设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由等差数列的前项和公式，可得，可得，

又由且，

所以，当且仅当时，即时，等号成立，

所以的最小值为.

故选：D.

5．（2023春·广东茂名·高二广东高州中学校考期中）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的前56项和为（????）

A．2060 B．2038 C．4038 D．4084

【答案】D

【详解】去除所有为1的项后，剩下的每一行的个数为，

对应个数构成一个首项为1公差为1的等差数列，

则前行数字个数之和为，

当时，，

所以该数列的第56项是杨辉三角中第13行第二个数字.

故该数列前56项和表示：杨辉三角中前12行数字之和，减去所有23个1，再加上杨辉三角中第13行第二个数字12即可，

故所求数列的前项和为：.

故选：D.

6．（2023春·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）已知等差数列和的前项和分别为，，且，则的值为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由，得，

.

故选：B.

7．（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第10项为（????）

A．84 B．83 C．82 D．81

【答案】B

【详解】设二阶等差数列为，令，

则，

由题意可得：数列是以首项为1，公差为2的等差数列，

则，即，

所以.

故选：B.

8．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知各项均为正整数的递增数列的前n项和为，若，，当n取最大值时，的值为（????）

A．10 B．61 C．64 D．73

【答案】D

【详解】因为为递增数列且均为正整数，，，

若n取最大值时，则当时，均取到最小，即，

即当时，可得，所以数列是以首项为3，公差为1的等差数列，

则，

又因为，

若n的最大值为61，则，符合题意；

若n的最大值为62，则，不符合题意；

综上所述：当n取最大值时，的值为73.

故选：D.

二、多选题

9．（2023春·福建福州·高二福建省福州第一中学校考期中）记为数列的前n项和，若，且，，成等比数列，则（????）

A．为等差数列 B．

C．，，成等比数列 D．有最大值，无最小值

【答案】AC

【详解】由题意，

得：，

，是首项为，公差为1的等差数列，

，

由于成等比数列，，，解得；

对于A，正确；

对于B，错误；

对于C，，正确；

对于D，，是关于n的二次函数，所以在或13处取得最小值，无最大值，错误；

故选：AC.

10．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市第八中学校校考期中）已知数列满足，则（????）

A． B．的前10项和为150

C．的前11项和为-14 D．的前16项和为168

【答案】ACD

【详解】由得：

当时，，

两式相减得，

故，当时，也符合，故，

对于A,，故A正确，

对于B，的前10项和为，故B错误，

对于C，的前11项和为，故C正确，

对于D，当，解得，所以，

所以的前16项和为，故D正