专题07 指数与指数函数（考点清单+知识导图+ 15个考点清单题型解读）（解析版）-A4.docx

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清单07指数与指数函数

（个考点梳理+题型解读+提升训练）

【清单01】整数指数幂

1、正整数指数幂的定义：，其中，

2、正整数指数幂的运算法则：

①（）

②（，，）

③（）

④（）

⑤（）

【清单02】根式

1、次根式定义：

一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.

特别的：

①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.

②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成().

③负数没有偶次方根；

④的任何次方根都是，记作

2、根式：

式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．

在根式符号中，注意：

①，

②当为奇数时，对任意都有意义

③当为偶数时，只有当时才有意义.

3、与的区别：

①当为奇数时，（）

②当为偶数时，（）

③当为奇数时，且，

④为偶数时，且，

【清单03】分式指数幂

1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式.

2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）.

3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义.

【清单04】有理数指数幂

①（，）

②（，）

③（，）

知识点05：无理数指数幂

①（，）

②（，）

③（，）

【清单05】指数函数的概念

1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是.

2、学习指数函数的定义，注意一下几点

（1）定义域为：

（2）规定是因为：

①若，则（恒等于1）没有研究价值；

②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义；

③若，则中为偶数，为奇数时，无意义.

④只有当或时，即，可以是任意实数.

（3）函数解析式形式要求：

指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式.

【清单06】指数函数的图象与性质

1、函数的图象和性质如下表：

底数

图象

性

质

定义域

值域

定点

图象过定点

单调性

增函数

减函数

函数值的变化情况

当时，

当时，

当时，

当时，

当时，

当时，

对称性

函数与的图象关于轴对称

2、指数函数的底数对图象的影响

函数的图象如图所示：

观察图象，我们有如下结论：

2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.

（1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快.

（2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快.

2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”.

在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低；

在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；

在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；

【清单07】指数函数的定义域与值域

1、定义域：

（1）指数函数的定义域为

（2）的定义域与函数的定义域相同

（3）的定义域与函数的定义域不一定相同.

2、值域

（1）指数函数的值域为

（2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域

（3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中.

【清单08】指数函数的图象变换

已知函数

1、平移变换

①

②

③

④

2、对称变换

①

②

③

3、翻折变换

①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧）

②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方）

【考点题型一】根式的化简求值

核心方法：①当为奇数时，（）

②当为偶数时，（）

③当为奇数时，且，

④为偶数时，且，

【例1】（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简.

【答案】4

【知识点】根式的化简求值

【分析】将根式里面进行配方，结合的范围即可化简.

【详解】因为,所以,

所以,

故答案为：4.

【变式1-1】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（????）

A．－1 B．1 C． D．

【答案】B

【知识点】根式的化简求值

【分析】根据根式的性质化简求值即可.

【详解】因为，

所以，

故选：B

【变式1-2】（多选）（24-25高一上·浙江·期中）下列计算正确的是（???）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算

【分析】根据指数幂的运算法则即可判断.

【详解】对A，，故A错误；

对B，，故B错误；

对C，，故C