【高考题型分类突破】拓展培优03 利用递推关系求通项 2025年高考数学二轮专题复习 学案（含答案）.docxVIP

（2024版）

拓展培优(三)利用递推关系求通项

以递推关系为载体考查数列通项公式的求法是新高考考查数列的重点内容之一，在选择题、填空题、解答题中均有涉及，难度中等.利用数列的递推关系求数列的通项，常见的方法有累加法、累乘法和构造法(包括辅助数列法、取倒数法、取对数法等).

Sn与an之间的递推关系

典例1已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=-165，且5an+1+Sn+16=0，则数列{an}的通项公式为

将5an+1+Sn+16=0中的n用n-1替换→作差得5an+1=4an→求公比→利用等比数列的通项公式求解.

方法总结：

Sn与an的关系问题的求解思路

(1)先利用a1=S1求出a1.

(2)用n-1替换关系式中的n，得到一个新的关系，利用an=Sn-Sn-1(n≥2)化简，求出当n≥2时an的表达式.

(3)对n=1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，若符合，则数列的通项公式合写；若不符合，则分n=1与n≥2两段来写.

(4)根据所求结果的不同要求，利用an=Sn-Sn-1(n≥2)将已知关系式转化为只含Sn，Sn-1的关系式或转化为只含an，an-1的关系式，再求解.

已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=4an-3，则Sn=().

A.425n-1 B.423n-1

C.343n-1 D.4(3n-1)

累加法

典例2在数列{an}中，a1=2，an+1=an+n+1.

(1)求数列{an}的通项公式.

(2)设bn=1an，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn

(1)累加求和→验证确定结果.

(2)放缩bn=2n2+n+22n2+n=21

方法总结：

若给出的是形如an+1-an=f(n)的递推公式，可利用累加法求数列的通项公式，步骤如下：

若an+1-an=f(n)，则当n≥2时，an-an-1=f(n-1)，an-1-an-2=f(n-2)，…，a3-a2=f(2)，a2-a1=f(1).

两边分别相加得an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)，

所以当n≥2时，an=f(1)+f(2)+…+f(n-1)+a1，验证首项，得出结论.

南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列{an}，an=an-1+n，n1且n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式.

(2)求证：1a1+1a2+…+

累乘法

典例3已知数列{an}满足a1=1，(2n-1)an+1=(2n+1)an，则{an}的通项公式为.

方法总结：

若给出的是形如an+1an=f(n)的递推公式，

若an+1an=f(n)，则当n≥2时，anan-1=f(n-1)，an-1an-2=f(

两边分别相乘得ana1=f(1)·f(2)·f(3)·…·f(

所以当n≥2时，an=a1·f(1)·…·f(n-1)，验证首项，得出结论.

已知{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)an+12-nan2+an+1an=0(n∈N*)，则它的通项公式为

待定系数法

典例4已知数列{an}满足an+1+2an=3，a1=2，且其前n项和为Sn，则满足不等式Sn-n-13≥100的最小整数n为.

证明数列{an-1}为等比数列→求该数列的首项和公比→求得an→分组求和法得Sn→解不等式Sn-n-13≥100求n.

方法总结：

若给出的是形如an+1=pan+q(p≠1，pq≠0)的递推公式，可利用待定系数法求数列的通项公式，步骤如下：

第一步，假设递推公式可变形为an+1+t=p(an+t)；

第二步，由待定系数法解得t=qp

第三步，写出数列an+qp-1的通项公式；

第四步，写出数列{an}的通项公式.

已知数列{an}满足an+1=2(an+1)，若a5=78，则a1=().

A.4 B.3 C.52

倒数构造法

典例5已知数列{an}的首项a1=25，且满足an+1=2

(1)求证：数列1an-2为等比数列.

(2)若1a1+1a2+1a3+…+

(1)an+1=2an2an

(2)利用等比数列求和公式求和→构造函数→根据函数的单调性求n.

方法总结：

若给出的是形如an+1=manpan+q(p，q，m为常数，pqm≠0)的递推公式，可通过两边取倒数，将其变形为1an+1

已知数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bnbn+2(n∈N*)，则{b

对数构造法

典例6已知数列{an}满足a1=1，an+12=10an(an0)，求{a

an+12=10an的两边取对数，得2lgan+1=lgan+

(改编)已知数列{an}的各项均