第一次月考难点特训（一）与全等综合有关的压轴题（原卷版）.pdf

第一次月考难点特训（一）

与全等综合有关的压轴题

1．已知△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝∠CBA＝45°，点M为直线BC上任意一点，过点C作CD

⊥AM交AB于点D，在BC上取一点N使CN＝BM，连接DN

（1）如图，M、N在线段BC上，求证：∠AMC＝∠DNB；

（2）若M、N分别在CB、BC的延长线上时，试画出图形，并说明（1）中的结论是否成立？

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2．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q

从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，

（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，

若不变，则求出它的度数；

（2）何时△PBQ是直角三角形？

（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，

则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．

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3．如图1，△ACB为等腰直角三角形，即∠ABC＝90°，AB＝BC，∠BAC＝∠BCA＝45°．点P

在线段BC上（不与B，C重合），以AP为腰长作等腰直角△PAQ，即∠PAQ＝90°，AQ＝AP，

∠AQP＝∠APQ＝45°，且QE⊥AB于E．

（1）求证：△PAB≌△AQE；

（2）连接CQ交AB于M，若PC＝2PB，求的值；

（3）如图2，过Q作QF⊥AQ交AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于D，连接DF，

当点P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子的值会变化吗？若不变，求出该值；

若变化，请说明理由．

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4．已知，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过A任作一直线l，作BD⊥l于D，CE⊥l于E，

观察三条线段BD，CE，DE之间的数量关系．

（1）如图1，当l经过BC中点时，此时BDCE；

（2）如图2，当l不与线段BC相交时，BD，CE，DE三者的数量关系为，并证明你的

结论．

（3）如图3，当l与线段BC相交，交点靠近B点时，BD，CE，DE三者的数量关系为．证

明你的结论，并画图直接写出交点靠近C点时，BD，CE，DE三者的数量关系为．

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5．已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB，BC中点D，E，连接DE，如图1，易证△DBE

为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转的角度∠ABD＝α，其中0＜α＜180°．

（1）如图2，当α＝30°，连接AD，CE，求证：AD＝CE；

（2）在△DBE旋转过程中，当α超过一定角度时，如图3，连接AD，CE会交于一点，记交点

为点F，AD交BC于点P，CE交BD于点Q，连接BF，请问BF是否会平分∠CBD？如果是，

求出α，如果不是，请说明理由；

（3）在第（2）问的条件下，试猜想线段AF，BF和CF之间的数量关系，并说明理由．

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6．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，

且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+F