2025年中考数学复习--线段和差最值的存在性问题专题练习.docx

线段和差最值的存在性问题

1.如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=-23x+4的图像与x轴和y轴分别相交于点A、B，动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动.点A关于点P的对称点为Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN.设运动时间为t

(1)当t=13时，点Q的坐标为

(2)在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB的重叠部分面积为S，求S关于t的函数表达式；

(3)若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值.

2.如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC的周长最小，求点P的坐标.

3.如图，抛物线y=12x2-4x+4与y轴交于点A，B是OA的中点.一个动点G从点B出发，先经过x轴上的点M，再经过抛物线对称轴上的点N，然后返回到点A.如果动点G走过的路程最短，请找出点

4.如图，抛物线y=-49x2+83x+2与y轴交于点A，顶点为B.点P是x

5.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(1,-3)，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、O三点(O为原点).

(1)求抛物线的解析式；

(2)在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使△BOC的周长最小.若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么△PAB是否有最大面积?若有，求出此时点P的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.

6.如图1，已知抛物线y=43x2+bx+c经过

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若抛物线与x轴的另一个交点为C，求点C关于直线AB的对称点C的坐标；

(3)如图2，若点D是第二象限内一点，以D为圆心的圆分别与x轴、y轴、直线AB相切于E、F、H，问在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得|PH-PA|的值最大?若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.

7.(1)如图1，正方形ABCD的边长为6，E是CD的中点，P是对角线AC上的一个动点，求PD+PE的最小值.

(2)如图2,正方形ABCD的边长为6,∠BAC的平分线交BC于E,P、Q分别是AE、AB上的动点，求PB+PQ的最小值.

(3)如图3,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,∠BAC的平分线交BC于E,P、Q分别是AE、AB上的动点,求PB+PQ的最小值.

1.满分解答

(1)当t=13时,点Q

(2)已知AP=PQ=3t,正方形PQMN的面积为9t2.

在Rt△BOA中,OA=6,OB=4,所以tan

①如图2,重叠部分的形状为五边形PDEMQ,0t≤1.

在Rt△APD中,AP=3t,所以DP=AP·tan∠A=2t.所以S

在Rt△DNE中,DN=t,所以EN=32DN=

所以S=

②如图3，重叠部分的形状为五边形.PDEFO,1t≤

由于(OP=6-3t,所以S矩形POFN=3t(6-3t)=18t-9t2.

所以S=SDN

③如图4，重叠部分的形状为四边形POBD,43

此时S=

(3)在运动过程中OT+PT的最小值为32

考点伸展

第(3)题的思路是这样的：如图5，由于OT+PT=OT+NT，所以当点T落在线段ON上时，OT+NT取得最小值.

而ON的最小值，是点O到直线y=-x+6的距离，这是因为PA=PN，所以点N的运动轨迹是等腰直角三角形AOC的斜边AC.此时点Q和点O重合(如图6所示).

如图6，ON=

2.满分解答

如图1,联结PB,那么PA=PB.

联结BC，在△PBC中，根据两边之和大于第三边，PB+PC总是大于BC的.

如图2,当点P落在BC上时,PB+PC最小,最小值为BC.此时△PAC的周长最小.

由y=x2-2x-3=x+1x-3

所以BC=32,AC=

此时点P的坐标为(1,-2),△PAC的周长最小值为3

3.满分解答

如图1，设点B关于x轴的对称点为.B,点A关于抛物线的对称轴的对称点为A,联结AB交x轴于M，交抛物线的对称轴于N

由y=12x2-4x+4,知抛物线的对称轴是直线

所以B(0,2),B(0,-2),A(8,4).所以.AB=6,AA=8.因此

4.满分解答

如图1，在△PAB中，根据两边之差小于第三边，PA与PB的差总是小于AB的，当点P在直线AB上时,PB--PA达到最大值,最大值为AB.

如图2，当点P在线段AB的垂直平分线上时，PA--PB=