专题03 等式性质与不等式的性质、基本不等式（考点清单+知识导图+ 11个考点清单题型解读）（原卷版）-A4.docxVIP

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清单03等式性质与不等式的性质、基本不等式

（个考点梳理+题型解读+提升训练）

【清单01】作差法比较大小

作差法的依据：①；②；③

步骤：

(1)作差；

(2)变形；（目的：便于判定差的符号，常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等）

(3)定号；（当差的符号不确定时，一般需要分类讨论）

(4)下结论。（根据当差的正负与实数大小关系的基本事实下结论）

【清单02】不等式的性质

性质

性质内容

特别提醒

对称性

（等价于）

传递性

（推出）

可加性

（等价于

可乘性

注意的符号（涉及分类讨论的思想）

同向可加性

同向同正可乘性

可乘方性

，同为正数

【清单03】重要不等式

一般地，，有，当且仅当时，等号成立.

【清单04】基本不等式链

（其中，当且仅当时，取“”号）

（注意：一正，二定，三相等，特别“一正”，“三相等”这两类陷阱）

【考点题型一】比较两个代数式的大小

【解题方法】作差法

【例1】（24-25高一上·北京延庆·期中）若和，则和的大小关系为（???）

A． B． C． D．

【变式1-1】（24-25高一上·江西南昌·期中）下列命题:①若，则????②若，则③若，则????④若，则其中真命题的个数是（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式1-2】（24-25高一上·福建莆田·期中），，，则有.（请填“”、“”、“”、“”、“”）

【考点题型二】基本不等式（和为定值求积的最值）

【例2】（24-25高三上·山东枣庄·期中）求下列各式的最值

(1)当时，求的最小值；

(2)已知，求的最大值.

【变式2-1】（24-25高一上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）若，且，则的最大值是．

【变式2-2】（24-25高一上·四川成都·期中）已知，，且．

(1)求xy的最大值；

(2)求的最小值．

【考点题型三】基本不等式（积为定值求和的最值）

【例3】（24-25高一上·北京·期中）当时，恒成立，则的最大值为（????）

A．6 B．10 C．12 D．13

【变式3-1】（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）已知，则的最小值为（???）

A．4 B．5 C．6 D．7

【变式3-2】（24-25高一上·北京·期中）函数的最小值是.

【考点题型四】基本不等式（凑项（系数））

形如：

【例4】（24-25高一上·上海闵行·期中）函数的最小值是.

【变式4-1】（24-25高一上·贵州六盘水·期中）已知，则的最大值是.

【变式4-2】（24-25高一上·北京·期中）已知函数，则当且仅当时，有最小值．

【考点题型五】基本不等式（常数代换法）

形如：①已知，求；

或已知，求

【例5】（24-25高一上·湖南·期中）已知两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是.

【变式5-1】（24-25高一上·天津红桥·期中）已知，，且，则的最小值.

【变式5-2】（24-25高一上·云南德宏·期中）已知正数满足，则的最小值为.

【考点题型六】基本不等式（二次与二次（或一次）商式）

形如：或者，常用换元法：令

【例6】（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为.

【变式6-1】（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知正实数x，则的最大值是（????）

A． B． C． D．

【变式6-2】（22-23高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知，求的最小值

【考点题型七】条件等式求最值

形如：，目标①求型；目标②求型

【例7】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知，且，则的最小值是（????）

A． B． C． D．

【变式7-1】（24-25高一上·天津西青·期中）已知、为正实数，且，则的最小值是.

【变式7-2】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知正实数，满足.

(1)求的最小值，并求出此时，的值；

(2)若的最小值是25，求的值.

【考点题型八】对钩函数求最值

形如或者

【例8】（23-24高二上·河南）已知函数的最小值为，则的解析式可以是（????）

A． B．

C． D．

【变式8-1】（多选）（23-24高一上·江苏连云港·期中）下列命题中，是假命题的有（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【变式8-2】（多选）（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（????）

A．的最小值是2 B．的最小值是2

C．的最小值是 D．若，则的最大值是

【考点题型九】基本不等式的恒成立问题

【例9】（23-24高二上·黑龙江绥化）设正数，满足，若不等式对任意实数恒成