新高考数学三轮冲刺“8+3+3”小题强化训练（21）（解析版）.docVIP

“8+3+3”小题强化训练(21)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知样本数据1，2，2，3，7，9，则2.5是该组数据的（）

A.极差 B.众数 C.平均数 D.中位数

【答案】D

【解析】由题意得众数为，极差，均值，中位数，故D正确.

故选：D.

2．已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】，，则．

故选：B.

3．椭圆经过点，则其离心率（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】将代入可得，

化简可得，解得或（舍去），

故椭圆方程为，

所以，故，

故，

故选：A

4．已知正项数列满足，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】依题意，，则数列是以为公比的等比数列，因此，

所以.

故选：B

5．某台小型晚会由5个节目组成，演出顺序有如下要求，节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，则该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）

A．36种 B．42种 C．48种 D．54种

【答案】B

【解析】甲在第一位有个结果，甲在第二位有个结果，，

故选：B

6．已知函数的部分图象如图所示，则（）

A.1 B. C. D.

【答案】A

【解析】由图可知，即，又，所以，

又关于对称，且，

因为且，所以，解得，所以，

所以，解得，所以，

所以.

故选：A

7．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为（）

A.2 B.－2 C.6 D.－6

【答案】D

【解析】

因为为边上的中线，所以，

又BE为边AC上的高，

所以，且在中，，

所以

.

故选：D.

8．“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，则两点间的曼哈顿距离，已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】如图所示，由圆，可得，

则圆心，半径，

设，则，可得点的轨迹为如下所示的正方形，

其中，则，

则，所以的最大值为.

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9．已知等差数列的前项和为，则（）

A.的最小值为1 B.的最小值为1

C.递增数列 D.为递减数列

【答案】ABC

【解析】假设的公差为，由，所以，又，

所以，所以．

选项A：，故时最小值为1，A正确；

选项B：，令，所以，可知在区间单调递增，

所以时取得最小值1，B正确；

选项C：，故为递增数列，C正确；

选项D：，因为，所以不是递减数列，D错误．

故选：ABC

10．2023年旅游市场强劲复苏，7，8月暑期是旅游高峰期．甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有一人选择．事件M为“甲选择北京”，事件N为“乙选择上海”，则下列结论正确的是（）

A.事件与互斥 B.

C. D.

【答案】BC

【解析】对于A，甲选择北京与乙选择上海可能会同时发生，即事件与会同时发生，不互斥，A错误；

对于B，由题意知共有事件个数，事件与的个数均为个，

故，,

则，，即，B正确，

对于C，，C正确；

对于D，，D错误，

故选：BC

11．如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，为的中点，则（）

A.当为的中点时，异面直线与所成角为

B.当∥平面时，点的轨迹长度为

C.当时，点到的距离可能为

D.存在一个体积为的圆柱体可整体放入内

【答案】ACD

【解析】

因为为正方形，连接与，相交于点，连接，则，，两两垂直，

故以为正交基地，建立如图所示的空间直角坐标系，

，，，，，，为的中点，则.

当为的中点时，，，，

设异面直线与所成角为，，，故，A正确；

设为的中点，为的中点，则∥，平面，平面，

则∥平面，又∥平面，又，设，

故平面∥平面，平面平面，

平面平面，则∥，则为的中点，

点在四边形内（包含边界）运动，则，

点的轨迹是过点与平行的线段，长度为4，B不正确；

当时，设，，，

，得，即，

即点的轨迹以中点为圆心，半径为的圆在四边内（包含边界）的一段弧（如下图），

到的距离为，弧上的点到的距离最小值为，

因为，所以存在点到的距离为，C正确；

由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥内接最大圆柱的体积，

设圆柱底面半径为，高为，为的中点，为的中点,，