新高考数学一轮复习分层提升练习第27练 等差数列（解析版）.doc

第27练等差数列

一、课本变式练

1.（人A选择性必修二P24习题4.2T1变式）设为等差数列的前n项和，已知，，则（???????）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【解析】由已知可得，，解可得，

，故选C.

2.（人A选择性必修二P24习题4.2T2变式）已知等差数列满足，，则的前项的和为（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设等差数列公差为，，，，解得：，，解得：，

的前项的和为.故选C.

3.（人A选择性必修二P24习题4.2T8变式）“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三、三数之，剩二；五、五数之，剩三；七、七数之，剩二．问物几何？”即著名的“孙子问题”，最早由《孙子算经》提出，研究的是整除与同余的问题．现有这样一个问题：将1到2022这2022个数中，被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的中位数为____________．

【答案】1007

【解析】由题意可知，既是3的倍数，又是5的倍数，即，所以，

当时，，当时，，所以，

数列共有135项，因此中位数为第68项，.

4.（人A选择性必修二P24习题4.2T7变式）已知数列的前n项和为，，，且．

(1)求证：数列是等差数列；

(2)若，，成等比数列，求正整数m．

【解析】(1)因为，

所以，即，

则．

又，，满足，

所以是公差为4的等差数列．

(2)由（1）得，，

则．

又，

所以，

化简得，解得m＝7或（舍）．

所以m的值为7．

二、考点分类练

(一)等差数列基本量的计算

5.（2022届黑龙江省哈尔滨市三中高三模拟）已知等差数列的前n项和为，，，则（???????）

A．-110 B．-115 C．110 D．115

【答案】B

【解析】由题意知，，得，解得，所以.故选B

6.（多选）（2022届重庆市高三下学期3月考试）朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤坝的每人每天发放大米3升.”则下列结论正确的有（???????）

A．将这1864人派谴完需要16天

B．第十天派往筑堤的人数为134

C．官府前6天共发放1467升大米

D．官府前6天比后6天少发放1260升大米

【答案】ACD

【解析】记数列为第n天派遣的人数，数列为第n天获得的大米升数，则是以64为首项，7为公差的等差数列，即，是以192为首项，21为公差的等差数列，即，所以，B不正确.设第k天派遣完这1864人，则，解得（负值舍去），A正确；官府前6天共发放升大米，C正确，官府前6天比后6天少发放升大米，D正确.故选ACD

7.记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．

【答案】2

【解析】由可得，化简得，

即，解得.

(二)等差数列的证明

8．记为数列的前n项和．已知．

(1)证明：是等差数列；

(2)若成等比数列，求的最小值．

【解析】(1)因为，即①，

当时，②，

①②得，，

即，

即，所以，且，

所以是以为公差的等差数列．

(2)解：由（1）可得，，，

又，，成等比数列，所以，

即，解得，

所以，所以，

所以，当或时．

9.（2022届四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学高考适应性考试）已知首项为2的数列满足，记.

(1)求证：数列是等差数列，并求其通项公式；

(2)求数列的前10项和.

【解析】(1)，

，即

故是首项为2，公差为2的等差数列，

.

(2)知，

，

故.

(三)等差数列前n和的最值

10.设为等差数列的前n项和，且满足，.则当取得最小值时，n的值为（???????）

A．3 B．6 C．9 D．12

【答案】B

【解析】设公差为d，由于，即，即，即，由于，所以，从而可得，所以当取得最小值时，n的值为6，故选B

11.（2022届辽宁省渤海大学附属高级中学高三考前测试）若函数，其中n是正整数，则的最小值是______．

【答案】100

【解析】易知，要使取得最小值，正整数n必然在区间上，

则

∵，∴或时有最小值100．

(四)等差数列的性质

12.（2022届吉林省东北师范大学附属中学高三练习）数列为等差数列，前项的和为，若，，则当时，的最大值为（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，，则，故数列为递增数列，

因为，，

且当时，，所以，当时，，

所以，满足当时，的最大值为.故选C.

13.（2023届广西柳州市新高三摸底）记等差数列的前n项和为，若，则___．

【答案】33

【解析】等差数