高考数学一轮复习（新高考版） 第9章　§9.2　用样本估计总体.docx

§9.2用样本估计总体

课标要求1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．

知识梳理

1．百分位数

一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．

2．平均数、中位数和众数

(1)平均数：eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．

(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)．

(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．

3．方差和标准差

(1)方差：s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2或eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－eq\x\to(x)2.

(2)标准差：s＝eq\r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n,)?xi－\x\to(x)?2).

4．总体方差和总体标准差

(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为eq\x\to(Y)，则总体方差S2＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,N,)(Yi－eq\x\to(Y))2.

(2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,k,f)i(Yi－eq\x\to(Y))2.

常用结论

1．若x1，x2，…，xn的平均数为eq\x\to(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为meq\x\to(x)＋a.

2．数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变．

3．若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.

自主诊断

1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)

(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．(×)

(2)方差与标准差具有相同的单位．(×)

(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．(√)

(4)在频率分布直方图中，可以用最高的小长方形底边中点的横坐标作为众数的估计值．

(√)

2．在下列统计量中，用来描述一组数据离散程度的量是()

A．平均数 B．众数

C．百分位数 D．标准差

答案D

解析标准差反映了数据分散程度的大小，所以说标准差是用来描述一组数据离散程度的统计量，故D正确．

3．甲、乙、丙、丁四人参加射击项目选拔赛，成绩如下，则他们中参加奥运会的最佳人选是______．

甲

乙

丙

丁

平均环数

8.5

8.8

8.8

8

方差

3.5

3.5

2.1

8.7

答案丙

解析由平均数及方差的定义知，丙的平均成绩较高且较稳定，是最佳人选．

4．有一组数据：－1，a，－2,3,4,2，它们的中位数是1，则这组数据的平均数是________．

答案1

解析数据－1，a，－2,3,4,2，已知除a以外的数据从小到大排序为－2，－1,2,3,4，要使得中位数为1，则a在第3位或第4位，即eq\f(2＋a,2)＝1，a＝0，经检验符合题意，

所以这组数据的平均数是eq\f(－2－1＋0＋2＋3＋4,6)＝1.

题型一样本的数字特征的估计

例1(1)(多选)(2023·荆门联考)某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了30名党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下．则下列对该单位党员一周学习党史时间的叙述，正确的有()

党史学习时间(小时)

7

8

9

10

11

党员人数

4

8

7

6

5

A．众数是8 B．第40百分位数为8

C．平均数是9 D．中位数是9

答案ACD

解析由题意，随机抽取30名党员，

由表可知，党史学习时间为8小时的人最多，为8人，故众数是8，故A正确；

因为30×40%＝12，第40百分位数为eq\f(8＋9,2)＝8.5，故B错误；

平均数为eq\f(1,30)×(7×4＋8×8＋9×7＋10×6＋11×5)＝9，故C正确；

因为共有30名党员，故中位数为第15项和第16项的平均数，因为第15项和第16项均为9，故中位数为9，故D正确．

(2)(多选)(2023·新高考全国Ⅰ)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x