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(2024版)
拓展培优(二)平面向量数量积的最值与取值范围问题
平面向量数量积的最值与范围问题是一个热点也是一个难点.这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、取值范围.平面向量兼具“数”与“形”的双重身份,解决平面向量最值、取值范围问题的基本思想之一是数形结合.
定义法
典例1已知O为平面直角坐标系的原点,向量OA=(1,3),AB=(-2,-1),AP=(1,
-2),设M是直线OP上的动点,当MA·MB取得最小值时,OM=().
A.1,12 B.-1,-12 C.(2,1) D.(-2,-1)
方法总结:
利用定义法求最值的一般步骤:(1)利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系;(2)运用基本不等式、乘法公式、二次函数等相关知识求其最值;(3)得出结论.
在Rt△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=π6,C=π2,c=2,P是△ABC外接圆上的一点,则PC·(PA+PB)的最大值是(
A.4 B.2+10 C.3 D.1+10
坐标法
典例2如图,圆O内接边长为1的正方形ABCD,P是弧BC(包括端点)上一动点,则AP·AB的取值范围是().
A.1,4+24
B.1,2+22
C.1,1+22
D.24,1
方法总结:
(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系,并推导出关键点的坐标;(2)将平面向量的运算坐标化;(3)运用已学相关知识求解.
在四边形ABCD中,BC=2AD,且AD=CD=1,AD⊥CD,则BA·BD=.
基底法
典例3已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c=2,a=4,cosB=34,动点M位于线段BC上,则MA·MB的最小值为()
A.0 B.910 C.-916 D.
方法总结:
(1)利用基底转化向量;(2)根据向量运算化简目标;(3)运用已学相关知识求解.
在平行四边形ABCD中,A=45°,AB=1,AD=2,若AP=AB+xAD(x∈R),则|AP|的最小值为().
A.12 B.22 C.1
几何意义法
典例4已知圆O是边长为2的正方形的内切圆,MN为圆O的一条直径,P为正方形四条边上的一个动点,则PM·PN的取值范围是.
方法总结:
题中向量具有典型几何意义时,考虑使用几何意义法:(1)结合条件进行向量关系推导;(2)利用向量之间的关系确定向量所表示的点的轨迹;(3)结合图形,确定临界位置,动态分析,求出范围.
已知平面向量a,b的夹角为30°,若|a|=2,则12|b|+|a-b|的最小值为
参考答案
拓展培优(二)平面向量数量积的最值与取值范围问题
考向1定义法
典例1A
【解析】OP=OA+AP=(2,1),M是直线OP上的动点,则可设OM=λOP=(2λ,λ),λ∈R,
则MA=OA-OM=(1-2λ,3-λ),MB=MA+AB=(-1-2λ,2-λ),MA·MB=5λ2-5λ+5=5λ-122+154,所以当λ=12时,MA·MB取得最小值,此时OM=1,12.
培优精练
A
【解析】如图,设Rt△ABC的外心为O,则O是AB的中点,
所以PC·(PA+PB)=2PC·PO=2(PO+OC)·PO=2PO2+2PO·OC
因为c=2,所以|PO|=|OC|=1,PO·OC=cosPO,OC,故PC·(PA+PB)≤2+2=4,当且仅当PO与OC同向时取等号.
考向2坐标法
典例2C
【解析】
如图,以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0).设P(x,y),则AP=(x,y).因为AB=(1,0),所以AP·AB=x.
由题意知,圆O的半径r=22
因为点P在弧BC(包括端点)上,
所以1≤x≤12+22,所以AP·AB的取值范围是1,1+2
培优精练3
【解析】
如图,建立平面直角坐标系,由题意可知,AD=DC=1,BC=2,则B(-2,0),A(-1,1),D(0,1),
故BA=(1,1),BD=(2,1),
所以BA·BD=1×2+1×1=3.
考向3基底法
典例3C
【解析】由题意知MA·MB=(MB+BA)·MB=MB2+BA·MB=MB2+2|MB|cos(π-B)=MB2-2×34|MB|=|MB|-342-916,而0≤|
所以当|MB|=34时,MA·MB取得最小值,最小值为-9
培优精练B
【解析】由AP=AB+xAD,可得|AP|2=(AB+xAD)2=|AB|2+x2|AD|2+2xAB·AD
=1+2x2+2x×1×2cos45°=2x2+2x+1=2x+122+12,
当x=-12时,|AP|2的值最小,|AP|min2=12
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