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2010年福建省高中数学竞赛暨全国高中数学联赛福建预赛试卷

、填空题(6X10=60，)

1.用间表示函数的定义域为

2.在AABC中，若sinA+cosA=-,，则cos2A=。

3

3.在数列4｛｝中，已知％=2,。m―2a〃=2+i(eN*),则使4〉10成立的最小正

整数“的值为o

4.已知/(%)是定义在R上的奇函数，对任意xwR均有/(%+2)=/(%)，且xe(O,l)

2

时，f(x)=x,贝|1+/(1)=。

5.如图，在四棱锥P—A3CD中，底面ABCD为正方形，4PAB为等边三角形，。为

AB边中点，且POJ_平面ABCD,则二面角P—AC-。的余弦值为

6.已知集合A=｛无+qx7+%x7?+/x71，其中q.e0｛,1,2,3,4,5,6｝,

i=0,1,2,3»且。3。。。若正整数次，nGA,且。+〃=2010,mn,则符合条

件的正整数也有个。

2A:

7.函数/(X)=sin2x+cosx[kGN*)的最小值____________________。

8.将方程13—3X国=4的实数解从小到大排列得和程，，%，则

x：+x：+x；++X；的值为O([%]表小不超过x的

最大整数)

9.若正整数,使得对任意一■组满足qa2a3。4=1的正数都

n

有a；+^+«；+-+—+—+—成立，则正整数机的最小值为

ciya?^^3^^4

10.如图，记从“田字型”网格（由4个边长为1的正方形构成）

的9个交点中任取3个点构成的三角形面积为J（当所取的三

11.当实数a为何值时，关于x的方程ax=lnx无解、一解、两解?

12.已知函数/(尤)=小-24。试求/(%)在间0［,1］上的最大值g(a)。

13.如图，在锐角AABC中，AB=AC,NACfi的平分线交A3于点。，过AABC

的外心。作C£)的垂线交AC于点E,过点E作AB的平行线交CD于点F。①求证：

C、E、0、F四点共圆；②求证：A、0、F三点共线；③求证：EA=EF。

14.已知双曲线C:q—学=1（。〉0/〉0）的离心率为2,过点尸0（,m）加（＞0）斜率为

1的直线/交双曲线C于A3两点，且AP=3PB,OAOB=3.①求双曲线方程；

②设。为双曲线C右支上动点，咒为双曲线C的右焦点，在无轴负半轴上是否存在定

点河使得NQfM=2NQMF?若存在，求出点河的坐标；若不存在，请说明理由。

15.数列｛qj中，已知％=2,且对一切正整数〃都有a+“i=a1/4+1。求证:

—+—+—++—-—+—+—++对一切正整数〃均成立。

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