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博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。——《礼记》
构造与论证
知识框架
（1）掌握最佳安排和选择方案的组合问题.
（2）利用基本染色去解决相关图论问题．
重难点
各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体
把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构
造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分
析和不等式估计．
组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。若干点
及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。若干点及连接它们的一些线段组成图，与
此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解
的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．
例题精讲
一、最佳安排和选择方案
【例1】5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到
第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?
【巩固】
在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，
并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，
博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。——《礼记》
再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？
【例2】在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式
进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有
10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一
场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜
几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?
【巩固】n支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，
平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：
（1）n=4是否可能？
（2）n=5是否可能？
博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。——《礼记》
【例3】如图35-1，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任
意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M.求M的最小值并完成你的填图.
【巩固】如图，在时钟的表盘上任意作个的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖个数，且每两个扇
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博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。——《礼记》
形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数．并举一个反例
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说明，作个扇形将不能保证上述结论成立．
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