26.1二次函数 教案 2024-2025学年数学华东师大版九年级下册.docxVIP

第26章二次函数

26.1二次函数

一、教学目标

1.探索并归纳二次函数的定义

2.会列二次函数表达式解决实际问题

二、教学重难点

重点：理解并掌握二次函数的概念和一般形式

难点：会列二次函数表达式解决实际问题

三、教学过程

【新课导入】

[情境导入]课件展示图片

[提出问题]雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？

学生回顾旧知：我们前面学习过一次函数：y=kx＋b(k，b是常数，k≠0)，反比例函数y=k/x，一次函数的图象为直线，反比例函数的图象为双曲线，那像图片中这样的一条曲线是什么函数呢？

教师活动：学了这节内容,问题便会迎刃而解.板书课题：第26章二次函数26.1二次函数

【新知探究】

（一）二次函数的定义

[提出问题]问题1：用总长为20m的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃.怎样围才能使花圃的面积最大？

将计算结果写在下表的空格中：

从所填的表格中,你能发现什么?能作出怎样的猜想?

[交流讨论]小组之间交流讨论.动手作答：

解：如图，设围成的矩形花圃为ABCD，靠墙的一边为AD，垂直于墙面的两边分别为AB和CD.设AB长为xm(0＜x＜10)，先取x的一些值，进而可以求出BC边的长，从而可得矩形的面积ym2.填表格如下：

我们发现，当AB的长x确定后，矩形的面积y也就随之确定，即y是x的函数，写出这个函数的关系式为y=x(20-2x)(0＜x＜10)，即y=-2x2+2x(0＜x＜10).

[提出问题]问题2：某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天可售出100件.该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加约10元.将这种商品的售价降低多少时,其每天的销售利润最大?

[教师引导]分析：销售利润=（售价-进价）×销售量.

[交流讨论]小组之间交流讨论，列出函数关系式：

根据题意，求出这个函数关系式为y=(10-x-8)(100+100x)(0≤x≤2)，

即y=100x2+100x+200(0≤x≤2).

[课件展示]观察两个函数表达式的共同点:

（1）y=-2x2+2x；

（2）y=100x2+100x+200.

引导：(1)函数表达式中的各项都是整式；

(2)函数自变量的最高次为2次；

(3)可以化成y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的形式.

[归纳总结]二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.

注意：

（1）a为二次项系数，ax2叫做二次项；b为一次项系数，bx叫做一次项；c为常数项.

（2）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式.

（3）a,b,c为常数，且a≠0;

（4）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.

[过渡]二次函数的一般形式：y＝ax2＋bx＋c(其中a、b、c是常数,a≠0)；

二次函数的特殊形式：若b=0可以写成y=ax2+c，若c=0，可以写成y=ax2+bx，

若b=0且c=0，可以写成y=ax2.

[课件展示]典型例题：例y=（m+3）xm2-7

（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？

（2）m取什么值时，此函数是二次函数？

[交流讨论]学生思考问题，小组之间交流讨论，回答问题：（1）由题可知m2?7=1,m+3≠0，解得m

[课件展示]随堂练习：

1.下列函数中,哪些是二次函数?

2.把下列函数化成一元二次函数的一般式.

(1)y=(x-2)(x-3)；

(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2；

(3)y=-2(x+3)2.

[师生互动]教师提问，学生积极回答问题.

PPT展示答案：1.(1)是(2)不是(3)是(4)不是

2.(1)y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6；

(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2=-x2+4x-6；

(3)y=-2(x+3)2=-2x2-12x-18.

（二）列简单的二次函数关系式

[提出问题]问题3：两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的关系式吗?

[学生回答]解：y=x(20-x)=-x2+20x.

[提出问题]问题4：已知矩形的周长为40cm,你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗?

[学生回答]解：设矩形的一边长为xcm，面积为ycm2，则另一边长为(20-x)cm，

根据题意得y=x(20-x)=-x2+20x.

[提出问题]问题1、问题2中两个函数的自变量的取值范围不同，问题3、问题4中的两个函数的表达式相同，由此我