核心考点通关 第三章 第7节 二次函数的综合应用 学案（含答案）2025年中考数学一轮教材梳理（陕西）.docxVIP

（2024版）

第7节二次函数的综合应用

(6年6考,8~19分)

从近6年陕西中考的考试内容来看,二次函数的综合应用题主要考查二次函数与特殊三角形的综合应用、二次函数与特殊四边形的综合应用、二次函数最值与图象、信息问题的综合应用等.

【回归教材·过基础】

【知识体系】

【真题精粹·重变式】

考向1二次函数与特殊三角形的综合应用

1.(2021·陕西25题8分)已知抛物线y=-x2+2x+8与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.

(1)求点B,C的坐标.

(2)设点C与点C关于该抛物线的对称轴对称.在y轴上是否存在点P,使△PCC与△POB相似,且PC与PO是对应边?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

考向2二次函数与特殊四边形的综合应用

2.(2023·陕西25题8分)某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门,并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m2,还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素,设计部门按要求给出了两个设计方案.现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中,如图所示:

方案一,抛物线型拱门的跨度ON=12m,拱高PE=4m.其中,点N在x轴上,PE⊥ON,OE=EN.

方案二,抛物线型拱门的跨度ON=8m,拱高PE=6m.其中,点N在x轴上,PE⊥ON,OE=EN.

要在拱门中设置高为3m的矩形框架,其面积越大越好(框架的粗细忽略不计).方案一中,矩形框架ABCD的面积记为S1,点A,D在抛物线上,边BC在ON上;方案二中,矩形框架ABCD的面积记为S2,点A,D在抛物线上,边BC在ON上.现知,小华已正确求出方案二中,当AB=3m时,S2=122m2,请你根据以上提供的相关信息,解答下列问题:

(1)求方案一中抛物线的函数表达式.

(2)在方案一中,当AB=3m时,求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1,S2的大小.

考向3二次函数最值与图象、信息问题的综合应用

3.(2024·陕西25题8分)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型,桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面,如图所示,以O为原点,以直线FF为x轴,以桥塔AO所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.

已知:缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称,桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC=100m,AO=BC=17m,缆索L1的最低点P到FF的距离PD=2m.(桥塔的粗细忽略不计)

(1)求缆索L1所在抛物线的函数表达式.

(2)点E在缆索L2上,EF⊥FF,且EF=2.6m,FOOD,求FO的长.

【核心突破·拓思维】

题型1二次函数与三角形的综合应用

如图,直线y=-x+n与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,B.

(1)求抛物线的函数表达式.

(2)E(m,0)为x轴上一动点,过点E作ED⊥x轴,交直线AB于点D,交抛物线于点P,连接BP.

①点E在线段OA上运动,若△BPD与△ADE相似,求点E的坐标;

②若点E在x轴的正半轴上运动,且∠PBD+∠CBO=45°,请直接写出m的值.

备用图

题型2二次函数与四边形的综合应用

如图,已知抛物线y=ax2+bx+2(a0)与y轴交于点C,与x轴交于A(-1,0),B(2,0)两点.

(1)求抛物线的函数表达式.

(2)若D是第二象限抛物线上的动点,DE∥x轴,交直线BC于点E,点G在x轴上,点F在坐标平面内.是否存在点D,使以D,E,F,G为顶点的四边形是正方形?若存在,求点D的坐标;若不存在,请说明理由.

二次函数与特殊四