第一次月考难点特训（二）与平面直角坐标系中的三角形全等有关的压轴题（解析版）.pdf

第一次月考难点特训（二）

与平面直角坐标系中的三角形全等有关的压轴题

1．如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在坐标轴上，A，B两点关于y轴对称，点C是y

轴正半轴上一个动点，AD是角平分线．

（1）如图1，若∠ACB＝90°，直接写出线段AB，CD，AC之间数量关系；

（2）如图2，若AB＝AC+BD，求∠ACB的度数；

（3）如图2，若∠ACB＝100°，求证：AB＝AD+CD．

【解答】解：（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，

∵A，B两点关于y轴对称，

∴CA＝CB，

∵∠ACB＝90°，AD是角平分线，

∴CD＝MD，∠ABC＝45°，

∴∠BDM＝45°，

∴BM＝DM，

∴BM＝CD，

在RT△ADC和RT△ADM中，，

∴RT△ADC≌RT△ADM（HL），

∴AC＝AM，

∴AB＝AM+BM＝AC+CD，

即AB＝AC+CD；

（2）设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°﹣α，

127.

第页共页

在AB上截取AK＝AC，连接DK，

∵AB＝AC+BD，

∴BK＝BD，

∵AD是角平分线，

∴在△CAD和△KAD中，，

∴△CAD≌△KAD（SAS），

∴∠ACD＝∠AKD＝α，

∴∠BKD＝180°﹣α，

∵BK＝BD，

∴∠BDK＝180°﹣α，

在△BDK中，

180°﹣α+180°﹣α+90°﹣α＝180°，

∴α＝108°，

∴∠ACB＝108°；

（3）如图2，在AB上截取AH＝AD，连接DH，

∵∠ACB＝100°，AC＝BC，

∴∠CAB＝∠CBA＝40°，

∵AD是角平分线，

∴∠HAD＝∠CAD＝20°，

∴∠ADH＝∠AHD＝80°，

在AB上截取AK＝AC，连接DK，

由（1）得，△CAD≌△KAD，

∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，

∴∠DKH＝80°＝∠DHK，

∴DK＝DH＝CD，

∵∠CBA＝40°，

∴∠BDH＝40°，

∴DH＝BH，

∴BH＝CD，

227.

第页共页

∵AB＝AH+BH，

∴AB＝AD+CD．

2．如图，A（﹣t，0）、B（0，t），其中t＞0，点C在OA上一点，OD⊥BC于点D，且∠BCO＝45°

+∠COD．

（1）求证：BC平分∠ABO；

（2）求的值；

（3）若点P为第三象限内一动点，且∠APO＝135°，试问AP和BP是否存在某种确定的位置

关系？说明你的理由．

【解答】（1）证明：如图1中，∵AO＝BO＝t，∠AOB＝90°，

∴∠OAB＝∠OBA＝45°，

327.

第页共页

∵∠BCO＝45°+∠COD＝∠BAO+∠ABC，

∴∠COD＝∠ABC，

∵OD⊥BC，

∴∠CDO＝90°，

∵∠DOC+∠DCO＝90°，∠CBO+∠BCO＝90°，

∴∠DOC＝∠CBO，

∴∠ABC＝∠CBO．

（2）解：中图1中，作DE＝DO，

∵∠ODE＝90°，

∴∠DEO＝45°＝∠EBO+∠EOB，

∵∠ABC＝∠CBO＝∠ABO＝22.5°，

∴∠EOB＝∠EBO＝22.5°，

∴EB＝EO，

∵∠ECO＝∠EOC＝67.5°，

∴EC＝EO，

∴BC＝2EC＝2（DE+DC）＝2DO+2DC，

∴＝＝2．

（3）结