第一次月考难点特训（一）与全等综合有关的压轴题（解析版）.pdf

第一次月考难点特训（一）

与全等综合有关的压轴题

1．已知△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝∠CBA＝45°，点M为直线BC上任意一点，过点C作CD

⊥AM交AB于点D，在BC上取一点N使CN＝BM，连接DN

（1）如图，M、N在线段BC上，求证：∠AMC＝∠DNB；

（2）若M、N分别在CB、BC的延长线上时，试画出图形，并说明（1）中的结论是否成立？

【解答】（1）证明：作BG⊥BC，交CD的延长线于G，AM交CD于O．

∵AM⊥CD，BG⊥BC，

∴∠AOC＝∠CBG＝∠ACM＝90°，

∴∠ACO+∠CAO＝90°，∠ACO+∠BCG＝90°，

∴∠CAM＝∠BCG，

∵AC＝BC，

∴△ACM≌△CBG，

∴CM＝BG，∠AMC＝∠G，

∵CN＝BM，

∴CM＝BN＝BG，

∵BD＝BD，∠DBN＝∠DBG＝45°，

∴△DBN≌△DBG，

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∴∠G＝∠BND，

∴∠AMC＝∠DNB；

（2）解：（1）中的结论成立．

理由：作BG⊥BC，交CD的延长线于G，AM交CD的延长线于O．

∵AM⊥CD，BG⊥BC，

∴∠AOC＝∠CBG＝∠ACM＝90°，

∴∠ACO+∠CAO＝90°，∠ACO+∠BCG＝90°，

∴∠CAM＝∠BCG，

∵AC＝BC，

∴△ACM≌△CBG，

∴CM＝BG，∠M＝∠G，

∵CN＝BN，

∴CN＝BM＝BG，

∵BD＝BD，∠DBN＝∠DBG＝45°，

∴△DBN≌△DBG，

∴∠G＝∠M，

∴∠M＝∠N；

2．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q

从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，

（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，

若不变，则求出它的度数；

（2）何时△PBQ是直角三角形？

228.

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（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，

则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．

【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变．

∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°

又由条件得AP＝BQ，

∴△ABQ≌△CAP（SAS），

∴∠BAQ＝∠ACP，

∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．

（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t

①当∠PQB＝90°时，

∵∠B＝60°，

∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝；

②当∠BPQ＝90°时，

∵∠B＝60°，

∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝；

∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．

（3）∠CMQ＝120°不变．

∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°

∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，

又由条件得BP＝CQ，

∴△PBC≌△QCA（SAS）

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∴∠BPC＝∠MQC

又∵∠PCB＝∠MCQ，

∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°

3．如图1，△ACB为等腰直角三角形，即∠ABC＝90°，AB＝BC，∠BAC＝∠BCA＝45°．点P

在线段BC上（不与B，C重合），以AP为腰长作等腰直角△PAQ，即∠PAQ＝90°，AQ＝AP，

∠AQP＝∠APQ＝45°，且QE⊥AB于E．

（1）求证：△PAB≌△AQE；

（2）连接CQ交AB于M，若PC＝2PB，求的值；