2025年中考数学复习--直角三角形的存在性问题专题练习.docx

直角三角形的存在性问题

1.如图1，抛物线y=ax2+12x+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m.

①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；

②作点B关于点C的对称点B，则平面内存在直线l，使点M、B、B到该直线的距离都相等.当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y=kx+b的解析式(k、b可用含m是式子表示).

2.已知二次函数y=ax2+bx-4a0)的图像与x轴相交于A、B两点(A在B的左侧，且OAOB),与y

(1)求点C的坐标，并判断b的正负性；

(2)设这个二次函数的图像的对称轴与直线AC相交于点D，已知DC：CA=1：2，直线BD与y轴相交于点E，连接BC.

①若△BCE的面积为8，求这个二次函数的表达式；

②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA长的取值范围.

3定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A(a，b)，B(c，d)，若点T(x,y)满足x=a+c3,y=b+d3,那么称点T

例如:A(-1,8),B(4,2),当点T(x,y)满足x=-1+43=1,y=8+-23=2时,则点

(1)已知点A(--1,5),B(7,7),C(2,4),请说明其中一个点是另外两个点的融合点；

(2)如图1,点D(3,0),点E(t,2t+3)是直线l上任意一点,点T(x,y)是点D、E的融合点;

①试确定y与x的关系式；

②若直线ET交x轴于点H.当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标.

4.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2-2x+n(m、n是常数)经过点A(-2,3)、B(-3,0),与y轴的交点为点

(1)求此抛物线的表达式；

(2)点D为y轴上一点，如果直线BD和直线BC的夹角为15°,求线段CD的长度;

(3)设点P为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△BPC为直角三角形时，求点P的坐标.

5.如图1,已知⊙O的半径长为1,AB、AC是⊙O的两条弦,且AB=AC,BO的延长线交AC于点D,联结OA、OC.

(1)求证:△OAD∽△ABD;

(2)当△OCD是直角三角形时,求B、C两点的距离;

(3)记△AOB、△AOD、△COD的面积为S?、S?、S?,若S?是S?和S?的比例中项，求OD的长.

6.如图1,四边形ABCD中,∠BCD=∠D=90°,E是边AB的中点.已知AD=1,AB=2.

(1)设BC=x,CD=y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;

(2)当∠B=70°时,求∠AEC的度数;

(3)当△ACE为直角三角形时,求边BC的长.

7.如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(4,0),与y轴交于点C(0,4).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；

(3)点D为抛物线对称轴上一点.

①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；

②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围.

8如图1，在平面直角坐标系中，抛物线(C?:y=ax2+bx-1经过点A(-2,1)和点B(--1,--1),抛物线(C?:y=2x2+x+1,动直线x=t与抛物线C?交于点N，与抛物线C?交于点M.

(1)求抛物线C?的表达式；

(2)直接用含t的代数式表示线段MN的长；

(3)当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；

(4)在(3)的条件下，设抛物线C?与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C?上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q,连接KQ和QN,当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时,请直接写出点Q的坐标.

9.如图，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，点B是点A关于原点的对称点，P是函数y=2xx0)图像上的一点，且△ABP

10.如图，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，点B是点A关于原点的对称点，P是函数y=2xx0)图像上的一点，且△ABP

1.满分解答

(1)由y=-12

将A(-4,0)、C(0,-2)两点分别代入y=ax2+12x+c,得16a-2+c=0,

(2)①直线PM与直线AC的夹角保持不变，直角三角形PCM存在两种情况：

(i)如图2,当∠MPC=90°时,PC∥