专题03 等式性质与不等式的性质、基本不等式（考点清单+知识导图+ 11个考点清单题型解读）（解析版）-A4.docxVIP

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清单03等式性质与不等式的性质、基本不等式

（个考点梳理+题型解读+提升训练）

【清单01】作差法比较大小

作差法的依据：①；②；③

步骤：

(1)作差；

(2)变形；（目的：便于判定差的符号，常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等）

(3)定号；（当差的符号不确定时，一般需要分类讨论）

(4)下结论。（根据当差的正负与实数大小关系的基本事实下结论）

【清单02】不等式的性质

性质

性质内容

特别提醒

对称性

（等价于）

传递性

（推出）

可加性

（等价于

可乘性

注意的符号（涉及分类讨论的思想）

同向可加性

同向同正可乘性

可乘方性

，同为正数

【清单03】重要不等式

一般地，，有，当且仅当时，等号成立.

【清单04】基本不等式链

（其中，当且仅当时，取“”号）

（注意：一正，二定，三相等，特别“一正”，“三相等”这两类陷阱）

【考点题型一】比较两个代数式的大小

【解题方法】作差法

【例1】（24-25高一上·北京延庆·期中）若和，则和的大小关系为（???）

A． B． C． D．

【答案】C

【知识点】作差法比较代数式的大小

【分析】根据条件，通过作差法，得到，即可求解.

【详解】因为，，

所以，当且仅当时取等号，所以，

故选：C.

【变式1-1】（24-25高一上·江西南昌·期中）下列命题:①若，则????②若，则③若，则????④若，则其中真命题的个数是（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小

【分析】根据不等式的性质以及作差法可判断结果.

【详解】对于①：若，则，

即或，故①错误；

对于②：若，当时，，故②错误；

对于③：若，，

则，故③正确；

对于④：若，，

所以，故④错误；

综上，只有③正确，

故选：A.

【变式1-2】（24-25高一上·福建莆田·期中），，，则有.（请填“”、“”、“”、“”、“”）

【答案】

【知识点】作差法比较代数式的大小

【分析】利用作差法可得出、的大小关系.

【详解】因为，

故.

故答案为：.

【考点题型二】基本不等式（和为定值求积的最值）

【例2】（24-25高三上·山东枣庄·期中）求下列各式的最值

(1)当时，求的最小值；

(2)已知，求的最大值.

【答案】(1)

(2)

【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值

【分析】（1）由，结合基本不等式求解即可；

（2）由，结合基本不等式求解即可.

【详解】（1）因为，所以，

则，

当且仅当，即时，取等号，

所以的最小值为；

（2）因为，所以，

则，

当且仅当，即时，取等号，

所以的最大值为.

【变式2-1】（24-25高一上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）若，且，则的最大值是．

【答案】

【知识点】基本不等式求积的最大值

【分析】利用基本不等式求得正确答案.

【详解】依题意，，

当且仅当时等号成立.

故答案为：

【变式2-2】（24-25高一上·四川成都·期中）已知，，且．

(1)求xy的最大值；

(2)求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值、基本不等式求积的最大值

【分析】（1）方法一：利用基本不等式得到，求出；方法二：由得到，，求出的最大值为；

（2）利用基本不等式“1”的妙用求出最值.

【详解】（1）方法一：∵，，，

∴，当且仅当，即，时等号成立，

∴，∴，的最大值为；

方法二：，解得，

，，

当时，的最大值为，此时；

（2）∵，

又∵，，∴，，

∴，当且仅当时等号成立，

∵，∴，，∴，

∴当，时，的最小值为9．

【考点题型三】基本不等式（积为定值求和的最值）

【例3】（24-25高一上·北京·期中）当时，恒成立，则的最大值为（????）

A．6 B．10 C．12 D．13

【答案】C

【知识点】基本不等式求和的最小值

【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果.

【详解】因为，所以，

当且仅当时，即时，等号成立，

所以由题意可知，，即的最大值为.

故选：C

【变式3-1】（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）已知，则的最小值为（???）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】D

【知识点】基本不等式求和的最小值

【分析】将原式变形为，利用基本不等式求得最小值.

【详解】因为，

当且仅当，即时取等号，

所以最小值为，

故选：D.

【变式3-2】（24-25高一上·北京·期中）函数的最小值是.

【答案】

【知识点】基本不等式求和的最小值

【分析】利用配凑法、基本不等式解决即可.

【详解】由基本不等式可得，等号成立当且仅当，

所以函数的最小值是.

故答案为：.

【考点题型四】基本