【高考题型分类突破】专题17 导数的几何意义及函数的单调性 2025年高考数学二轮专题复习 学案（含答案）.docxVIP

（2024版）

专题十七导数的几何意义及函数的单调性

【题型分析】

考情分析：

1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小.

2.利用导数研究函数的单调性是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，多以选择题、填空题的形式考查，也常在导数解答题的第一问考查，难度中等偏上，属于综合性问题.

题型1导数的几何意义

例1(1)(2024年全国甲卷)设函数f(x)=ex+2sinx1+x2，则曲线y=f(x

A.16 B.13 C.12

(2)(2024年新高考全国Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=.

方法总结：

1.求过某点的曲线的切线方程时(不论这个点在不在曲线上，这个点都不一定是切点)，应先设切点的坐标，再根据切点的“一拖三”(切点的横坐标与斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上)求切线方程.

2.公切线问题应根据两个函数图象在切点处的切线斜率相等，且两个切点既在切线上又分别在两个函数图象上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.

1.已知曲线y=x2+3x+ax在x=1处的切线与直线x-2y+1=0垂直，则a=()

A.3 B.92 C.7 D.

2.已知函数y=x的图象与函数y=alnx的图象在公共点处有相同的切线，则公共点的坐标为.

题型2利用导数研究函数的单调性

例2(2024年全国甲卷节选)已知函数f(x)=a(x-1)-lnx+1，求f(x)的单调区间.

例3(2021年全国乙卷节选)讨论函数f(x)=x3-x2+ax+1的单调性.

方法总结：

对于含参数的函数的单调性的讨论，常见的分类讨论点按讨论的先后顺序排列有三个.

分类讨论点一：求导后，考虑f(x)=0是否有实根，从而引起分类讨论.

分类讨论点二：求导后，f(x)=0有实根，但不清楚f(x)=0的实根是否落在定义域内，从而引起分类讨论.

分类讨论点三：求导后，f(x)=0有实根，f(x)=0的实根也落在定义域内，但不清楚这些实根的大小关系，从而引起分类讨论.

已知函数f(x)=-2alnx+2(a+1)x-x2(a0)，讨论函数f(x)的单调性.

题型3单调性的简单应用

例4(1)(2023年新高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为().

A.e2 B.e C.e-1 D.e-2

(2)设a=2ln2，b=e24?ln4，c=2e，则(

A.abc B.cba

C.acb D.cab

方法总结：

1.根据函数单调性求参数的一般思路

(1)由函数在区间[a，b]上单调递增(减)可知f(x)≥0(f(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立，列出不等式.

(2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题.

(3)对等号单独检验，检验参数的取值能否使f(x)在整个区间内恒等于0.若f(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f(x)=0，则参数可取这个值.

2.利用导数比较大小，其关键是判断已知(或构造后的)函数的单调性，利用其单调性比较大小.

1.若函数h(x)=lnx-12ax2-2x在[1，4]上单调递增，则实数a的取值范围为()

A.(-∞，-1] B.(-∞，-1)

C.-∞，-716 D.-∞，-716

2.已知a=14e2，b=19e3，c=116e4，则a，b，c的大小关系为(

A.acb B.abc

C.cba D.cab

【真题改编】

1.(2024年全国甲卷，理科T6改编)设函数f(x)=ex-sin2x，则曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为().

A.16 B.13 C.12

2.(2024年新高考全国Ⅰ卷，T13改编1)曲线f(x)=x6+3x-1在点(0，f(0))处的切线与曲线g(x)=3lnx+a相切，则a=().

A.1 B.-1 C.2 D.-3

3.(2023年新高考全国Ⅱ卷，T6改编)已知f(x)=ex-2+1ax-12x2在R上单调递增，则a的取值范围为().

A.[-1，1) B.-1，12

C.[-1，0) D.-12，0

4.(2024年新高考全国Ⅰ卷，T13改编2)已知函数f(x)=e2024x，g(x)=-e-2024x，若存在一条直线l与f(x)的图象和g(x)的图象都相切，则直线l的方程为.

5.(2024年全国甲卷，理科T21第(1)问改编)已知函数f(x)=(1-ax)ln(1+x)-x，当a=2时，求f(x)的单调区间.

【必威体育精装版模拟】

(总分：100分单选题每题5分，多选题每题6分，填空题每题5分，