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专题19三角形的内角和(综合题)
易错点拨
知识点01:三角形的内角和
三角形内角和定理:三角形的内角和为180°.
细节剖析:应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题:
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数;
②已知三角形三个内角的关系,可以求出其内角的度数;
③求一个三角形中各角之间的关系.
知识点02:三角形的外角
1.定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.如图,∠ACD是△ABC的一个外角.
细节剖析:(1)外角的特征:①顶点在三角形的一个顶点上;②一条边是三角形的一边;③另一条边是三角形
某条边的延长线.
(2)三角形每个顶点处有两个外角,它们是对顶角.所以三角形共有六个外角,通常每个顶点处取一个外
角,因此,我们常说三角形有三个外角.
2.性质:
(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
(2)三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角.
细节剖析:三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依
据.另外,在证角的不等关系时也常想到外角的性质.
3.三角形的外角和:
三角形的外角和等于360°.
细节剖析:因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角,由三角形的内角和是180°,可推出三角形的
三个外角和是360°.
易错题专训
一.选择题
1.(2022秋•海淀区校级期中)如图,∠C=∠A=90°,∠B=25°,则∠D的度数是()
A.55°B.35°C.25°D.20°
【易错思路引导】记AD和BC相交于点O,再根据三角形内角和定理求解即可.
【规范解答】解:如图,记AD和BC相交于点O,
在△AOB与△COD中,
∵∠A=∠C=90°,∠AOB=∠COD,∠B=25°,
∴∠D=∠B=25°.
故选:C.
【考察注意点】本题考查的是三角形内角和定理,对顶角的性质,熟知三角形内角和是180°是解答此题
的关键.
2.(2022秋•荆州月考)如图是一副三角尺拼成的图案,则∠AEB的度数为()
A.105°B.90°C.75°D.60°
【易错思路引导】根据三角形外角的性质解答即可.
【规范解答】解:由图可知∠ACB=30°,∠DBC=45°,
∵∠AEB=∠DBC+∠ACB,
∴∠AEB=30°+45°=75°.
故选:C.
【考察注意点】本题考查了三角形外角的性质.解题的关键是掌握三角形的外角性质:三角形的一个外
角等于和它不相邻的两个内角的和.要注意:一副三角尺的度数:30°,45°,60°,90°.
3.(2022秋•东丽区期中)如图,△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB,AC边翻折180°形成的,若∠1:∠
2:∠3=15:3:2,则∠α的度数为()
A.80°B.60°C.90°D.45°
【易错思路引导】根据题意可得,若∠1:∠2:∠3=15:3:2,则∠1=135°,∠3=18°,根据折叠
的性质,翻折变换的特点即可求解.
【规范解答】解:∵∠1:∠2:∠3=15:3:2,
∴∠1=135°,∠3=18°,
∴∠DCA=18°,∠EAB=135°
∵∠PAC=360°﹣2∠1=90°
∴∠EPD=∠APC=180°﹣∠PAC﹣∠DCA=72°.
由翻折的性质可知∠E=∠3=18°.
∴∠α=180°﹣72°﹣18°=90°.
故选:C.
【考察注意点】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力,解决此类问题,应结合题意,最好实际操
作图形的折叠,易于找到图形间的关系.
4.(2022春•淇滨区期末)如图,∠MON=90°,点A,B分别在射线OM,ON上运动,BE平分∠NBA,BE的
反向延长线与∠BAO的平分线交于点C,则∠C的度数是()
A.30°B.45°C.55°D.60°
【易错思路引导】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,列式求出∠ABN,再根据角平
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