高中数学椭圆知识点总结.pdf

⾼⾼中中数数学学椭椭圆圆知知识识点点总总结结

椭圆知识点

知识点⼀：椭圆的定义

平⾯内⼀个动点P到两个定点1F、2F的距离之和等于常数)2(2121FFaPFPF=+,个动点P的轨迹叫椭圆.两个定点叫

椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若2121FFPFPF=+，则动点P的轨迹为线段21FF；若2121FFPFPF

+，则动点P的轨迹⽆图形.知识点⼆：椭圆的简单⼏何性质

椭圆：12222=+byax)0(ba与122

22=+b

xay)0(ba的简单⼏何性质

标准⽅程

122

22=+byax)0(ba12

2

22=+bxay)0(ba图形

性质

焦点)0,(1cF-，)0,(2cF),0(1cF-，),0(2cF

焦距cFF221=cFF221=范围ax≤，by≤

bx≤，ay≤

对称性

关于x轴、y轴和原点对称

顶点)0,(a±，),0(b±),0(a±，)0,(b±

轴长

长轴长=a2，短轴长=b2长半轴长=a，短半轴长=b（注意看清题⽬）

离⼼率

)10(=

ea

c

ecaFAFA-==2211；caFAFA+==1221；caPFca+≤≤-1；

(p是椭圆上⼀点)（不等式告诉我们椭圆上⼀点到焦点距离的范围）

注意：①与坐标系⽆关的椭圆本⾝固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离⼼率等；

②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等

知识点三：椭圆相关计算

1．椭圆标准⽅程中的三个量c

b

a,

,的⼏何意义2

2

2c

b

a+

=

2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长

a

b2

2

焦点弦：椭圆过焦点的弦。

3.最⼤⾓:p是椭圆上⼀点，当p是椭圆的短轴端点时，2

1

PF

F

∠为最⼤⾓。

4.椭圆上⼀点和两个焦点构成的三⾓形称为焦点三⾓形。

焦点三⾓形的⾯积2

tan

2

2

1

θ

b

S

F

PF

=

，其中2

1

PF

F

∠

=

θ（注意公式的推导）

5.求椭圆标准⽅程的步骤（待定系数法）．

(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上．(2)设⽅程：

①依据上述判断设⽅程为22

22b

yax+=1)0(ba或2222aybx+=1)0(ba

②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)．

(3)找关系，根据已知条件，建⽴关于a，b，c或m，n的⽅程组．(4)解⽅程组，代⼊所设⽅程即为所求．6.点与椭圆的位置

关系:

2222byax+1,点在椭圆内；2222byax+=1，点在椭圆上；22

22b

yax+1,点在椭圆外。7.直线与椭圆的位置关系

设直线⽅程y＝kx＋m，若直线与椭圆⽅程联⽴，消去y得关于x的⼀元⼆次⽅程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．

(1)Δ＞0，直线与椭圆有两个公共点；(2)Δ＝0，直线与椭圆有⼀个公共点；(3)Δ＜0，直线与椭圆⽆公共点．8.弦长公式：

（注意推导和理解）

若直线bkxyl+=:与圆锥曲线相交与A、B两点，),(),,2211yxByxA（则弦长

221221)()(yyxxAB-+-=221221)()(kxkxxx-+-=2121xxk-+=

2122124)(1xxxxk-++==

9.点差法：

就是在求解圆锥曲线题⽬中，交代直线与圆锥曲线相交所截的线段中点坐标的时候，利⽤直线和圆锥曲线的两个交点，并把交

点代⼊圆锥曲线的⽅程，并作差。求出直线的斜率，然后利⽤中点求出直线⽅程。涉及弦中点的问题常常⽤“点差法”解决，往

往会更简单．

步骤:①设直线和圆锥曲线交点为，

，其中点坐标为

，则得到关系

式：

，

．.

②把，分别代⼊圆锥曲线的解析式，并作差，利⽤平⽅差公式对结果进⾏

因式分解．其结果为0))(())(+-++-yyyynxxxxm

③利⽤求出直线斜率,代⼊点斜式得直线⽅程为.

中点弦的重要结论（不要死记会推导）

10．参数⽅程cossin