期末复习之全等三角形相关的热考几何模型（原卷版）.docxVIP

全等三角形相关的热考几何模型

（热考必刷34题8种题型专项训练）

倍长中线模型

一线三垂直模型

一线三等角模型

截长补短模型

半角模型

手拉手模型

对角互补模型

婆罗摩及多模型

一．倍长中线模型（共5小题）

1．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=6，AC=8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，请补充完整证明“△ABD≌△ECD”的推理过程．

(1)求证：△ABD≌△ECD

证明：延长AD到点E，使DE=AD

在△ABD和△ECD中

∵

∴△ABD≌△ECD（__________）

请补齐空白处

(2)由（1）的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是__________；

(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．

【问题解决】

如图2，△ABC中，∠B=90°，AB=2，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE=4，且∠ADE=90°，求AE的长．

2．（23-24七年级下·山东济南·期末）【方法学习】

数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：

如图1，在△ABC中，AB=7，AC=5，BC边上的中线AD的取值范围．

小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1），

①延长AD到E，使得DE=AD；

②连接BE，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中；

③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BEAEAB+BE，从而得到AD的取值范围；

方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．

【问题解决】

（1）如图1，请写出AD的取值范围是．

（2）如图2，OA=OB，OC=OD，∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD，E是AC的中点，求证：OE=1

【问题拓展】

（3）如图3，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=100°以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．

3．（2024七年级下·全国·专题练习）(1)阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB=10，AC=6．求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE=AD，再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是______；

(2)问题解决：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CFEF；

(3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．

4．（22-23八年级上·北京东城·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=6，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点M，使DM=AD，连接BM，可证△ACD≌△MBD，从而把AB，AC，2AD集中在△ABC中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围．

??

【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”．

【问题解决】

(1)直接写出图1中AD的取值范围：

(2)猜想图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．

(3)如图3，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°，判断线段AD和线段EF的数量关系，并加以证明．

5．（22-23八年级下·吉林·阶段练习）【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图1，在△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明提出了如下解决方法，延长线段AD至点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法回答下列问题．

(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是____________．

A．SSS????????B．SAS????????C．AAS?????