新高考数学一轮复习分层提升练习第30练 空间几何体的结构、表面积与体积（解析版）.doc

第30练空间几何体的结构、表面积与体积

一、课本变式练

1.（人A选择性必修二P105习题8.1T6变式）以下结论中错误的是（???????）

A．经过不共面的四点的球有且仅有一个 B．平行六面体的每个面都是平行四边形

C．正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直 D．棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直

【答案】D

【解析】对于A，经过不共面的四点的球，即为该四面体的外接球，有且仅有一个，故A正确，对于B，平行六面体的每个面都是平行四边形，故B正确，对于C，正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直，故C正确，对于D，棱台的每条侧棱延长线交于一点，侧棱中有可能与底面垂直，故D错误，故选D

2.（人A选择性必修二P111习题8.2T5变式）如图，梯形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积为（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题得,所以.故选B．

3.（人A选择性必修二P119习题8.3T4变式）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，所以四棱锥的高为，

若圆柱的一个底面的周圆经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1，故圆柱的体积为．故选A．

4.（人A选择性必修二P119习题8.3T5变式）长?宽?高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为___________.

【答案】

【解析】设球的半径为，由于长方体的体对角线为其外接球的直径，则，故该球的表面积为.

二、考点分类练

(一)空间几何体的结构

5.如图，△ABC是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（???????）

A．△ABC是钝角三角形 B．△ABC是等边三角形

C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形

【答案】C

【解析】将其还原成原图，如图，设，则可得，，

从而，所以，即，故是等腰直角三角形.

故选C.

6.（2022届河北省邯郸市高考二模）如图是一个正方体的平面展开图，将其复原为正方体后，互相重合的点是（???????）

A．A与B B．D与E C．B与D D．C与F

【答案】ABD

【详解】将平面展开图，还原正方体如下图所示：

所以互相重合的点是A与B，D与E,C与F，故选ABD

7.下列说法正确的是（???????）

A．如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等

B．五棱锥只有五条棱

C．一个棱柱至少有五个面

D．棱台的各侧棱延长后交于一点

【答案】CD

【解析】根据棱锥、棱柱、棱台的定义和结构特征即可判断.

【详解】四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等，A错误；

五棱锥除了五条侧棱外，底面上还有五条棱，故共条棱，B错误；

一个棱柱最少有三个侧面，两个底面，故至少有五个面，C正确；

棱台是由平行于棱锥底面的截面截得，故棱台的各侧棱延长后交于一点，D正确.故选CD.

(二)空间几何体的表面积

8．（2023届江西省赣抚吉十一校高三第一次联考）已知圆锥的底面半径为，当圆锥的侧面积为时，该圆锥的母线与底面所成角的正切值为（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设圆锥的母线长为，由题意可得圆锥的侧面积，解得，所以母线与底面所成角的余弦值，由同角三角函数关系可得，，因此母线与底面所成角的正切值.故选A

9.（2022届上海市松江一中高三下学期3月阶段测试）体积相等的正方体、球、等边圆柱（轴截面为正方形的圆柱）全面积分别为、、，那么它们的大小关系为（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设球的半径为,正方体的棱长为,圆柱的底面半径是,

所以球的体积为:,正方体的体积为:,圆柱的体积为:;

故,所以，

，,;

因为，

因为

所以，综上，，故选D

10.（2023届江西省名校联考高三7月第一次摸底）已知圆台的上、下底面半径分别为，若该圆台的表面积为，母线长为2，且，则________．

【答案】3

【解析】圆台的表面积为，

从而，，

因此，解得（负值舍）．

(三)空间几何体的体积

11.（2023届陕西省宝鸡市千阳县中学高三上学期一模）已知底面边长为1，侧棱长为则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（?????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题可知，正四棱柱的体对角线即为外接球的直径，故，

解得，故球的体积为：.故选D.

12.（2023届湖北省九校教研协作体高三