新高考数学一轮复习分层提升练习第33练 直线、平面垂直的判断与性质 （解析版）.doc

第33练直线、平面垂直的判断与性质

一、课本变式练

1.（人A必修二P148练习T3变式）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】作的中点，连接，作的中点，连接、,即为异面直线AM与CN所成的角，由已知条件得，则,,由余弦定理得,在△中，有余弦定理可知,即,解得，

故选D.

2.（人A必修二P161练习T3变式）设表示两条不同的直线，表示平面，且，则“”是“”成立的（???????）

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面.所以由“”可得“”，充分性成立；反之亦成立.所以“”是“”成立的充要条件.故选A

3.（人A必修二P162习题8.6T2变式）下列说法中可以判断直线平面的是（???????）

A．直线l与平面内的一条直线垂直 B．直线l与平面内的两条直线垂直

C．直线l与平面内的两条相交直线垂直 D．直线l与平面内的无数条直线垂直

【答案】C

【解析】根据线面垂直的判定定理：直线垂直平面内两条相交直线，强调两条、相交，A、B不正确，C正确；根据线面垂直定义：直线垂直平面内得任一条直线，此时强调任一条，不是无数条，因为这无数条直线可能是平行的，D不正确．故选C．

4.（人A必修二P162习题8.6T5变式）如图，棱锥的底面是矩形，平面，．求证：平面

【解析】因为平面，BD平面，所以PA⊥BD，因为，底面是矩形，所以由勾股定理得：，所以底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又PA=A，所以BD⊥平面PAC.

二、考点分类练

(一)线线垂直

5.（2022届浙江省杭州二中、温州中学，金华一中三校高三下学期5月仿真模拟）在四棱锥中，底面是等腰梯形，若，，则下列结论可能成立的是（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】若，取中点，中点，连接，易得，，则，又，

面，，则面，又面，则，与矛盾，A错误；

过作交延长线于，连接，易得，则，由可得，

又面，，则面，又面，则，则，B错误；

若，连接，易得四边形为平行四边形，则，，则，又，

则，由B选项知，矛盾，C错误；

若，同C选项可得，又由B选项知，可能成立，D正确.故选D.

6.（多选）如图所示，已知四边形ABCD是由一个等腰直角三角形ABC和一个有一内角为30?的直角三角形ACD拼接而成，将△ACD绕AC边旋转的过程中，下列结论中可能成立的是（???????）

A．CD⊥AB B．BC⊥AD C．BD⊥AB D．BC⊥CD

【答案】ACD

【解析】当将△ACD绕AC边旋转到CD⊥BC时，因为CD⊥AC，，此时CD⊥平面ABC，而平面ABC，则CD⊥AB，CD⊥BC，AD正确；

此时AB⊥平面BCD，平面BCD，所以AB⊥DB，C正确；

若，而AB⊥BC，，故必有BC⊥平面ABD，由图形可知，D点在B点正上方，而，所以显然不可能；故选ACD

7.（2023届云南省下关第一中学高三上学期见面考）如图，已知AB为圆锥SO底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上，，，BE平分，D是SC上一点，且平面平面SAB．

(1)求证：；

(2)求平面EBD与平面BDC所成角的余弦值．

【解析】（1）因为，且BE平分，

所以，

又因为平面平面SAB，且平面平面，平面SAB，

所以平面BDE，

又因为平面BDE，

所以；

（2）取的中点M，连接OM，OS，则OM，OS，OA两两垂直，

所以以O为坐标原点，以OM为x轴，以OA为y轴，以OS为z轴建立如图空间直角坐标系，

则，，，，，

由（1）知平面BDE，所以是平面BDE的一个法向量，

设平面BDC的法向量为，

因为，

则，

取，则，

因此，

由图可知平面EBD与平面BDC所成角为钝角，

所以平面EBD与平面BDC所成角的余弦值为．

(二)线面垂直

8．已知在长方体中，在平面上任取一点，作于，则（???????）

A．平面 B．平面

C．平面 D．以上都有可能

【答案】A

【解析】平面，，即平面，平面，

又平面平面，平面平面，平面.故选A.

9.已知平面、和直线、，则下列说法：

①若，，，则；

②若，，，则；

③若，，则；

④若，，，，则.

其中正确的说法序号为________．

【答案】④

【解析】对于①，若，，，则与的位置关系不确定，①错；

对于②，若、不垂直，则与不垂直，②错；

对于③，若，，则与不一定垂直，③错；

对于④，由面面垂直的性质定理可知④对.

10.如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线．

(1)证明：平面；

(2)若，当三棱锥的体积最大时