新高考数学一轮复习分层提升练习第37练 椭圆（解析版）.doc

第37练椭圆

一、课本变式练

1.（人A选择性必修一P115习题3.1T6变式）已知圆C的方程为，，A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，则点P的轨迹方程为（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，所以，

所以，而，所以点轨迹是以为焦点，长轴长是4的椭圆．设其方程为，，，，则，所以点轨迹方程是．

故选C．

2.（人A选择性必修一P115习题3.1T5变式）已知椭圆为C的左?右焦点，为C上一点，且的内心，若的面积为2b，则n的值为（???????）

A． B． C． D．3

【答案】C

【解析】由题意可得，的内心到x轴的距离就是内切圆的半径.又点P在椭圆C上，.又，，即，解得或（舍），.又，解得.故选C.

3.（人A选择性必修一P115习题3.1T12变式）椭圆的一个短轴端点到一个焦点的距离为______．

【答案】

【解析】由题意，即为一个短轴端点到一个焦点的距离

4.（人A选择性必修一P115习题3.1T4变式）已知焦点在x轴上的椭圆C经过点，且离心率为，则椭圆C的方程为______．

【答案】

【解析】由题意，设椭圆的方程为，由题可知，解得，

椭圆的方程为.

二、考点分类练

(一)椭圆的定义

5.（2022届湖南省湘潭市高三下学期三模）椭圆的左?右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与E交于A，B两点，若△ABF2的周长为12，则E的离心率为（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为的周长为，根据椭圆的定义可得，解得，

则，所以，则椭圆的离心率为.故选A.

6.已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】在椭圆中，由椭圆的定义可得，

因为，所以，在中，，

由余弦定理得，

即所以所以的离心率.故选C

(二)椭圆的方程

7．已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，O为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，则C的方程为（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由椭圆方程可知，由四边形OMAN是正方形可知，又点M在椭圆C上，则有，解得，又椭圆C的右焦点为，则，结合椭圆中，解得，，则椭圆C的方程为.故选A

8.（2022届海南省海口市高三学生学科能力诊断）已知椭圆的离心率为，且经过点．

(1)求C的方程；

(2)动直线l与圆相切，与C交于M，N两点，求O到线段MN的中垂线的最大距离．

【解析】(1)由题知：，解得.

所以的方程为．

(2)当的斜率不存在时，线段MN的中垂线为轴，此时到中垂线的距离为0．

当的斜率存在时，设，，．

因为与圆相切，则到的距离为，所以．

联立方程，得，

则，可得的中点为．

则MN的中垂线方程为，即．

因此到中垂线的距离为

（当且仅当，时等号成立）．

综上所述，到线段MN的中垂线的最大距离为．

(三)椭圆的几何性质

9.（2022届河北省衡水市部分学校高三下学期4月联考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点到焦点的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设椭圆的半焦距为，由题意可得，解得，，所以椭圆C的离心率，

故选A.

10.（2022届山东省济南市历城第二中学高三下学期冲刺卷）设，F为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的动点，且椭圆上至少有17个不同的点，，，，…组成公差为d的递增等差数列，则（???????）

A．的最大值为

B．的面积最大时，

C．d的取值范围为

D．椭圆上存在点P，使

【答案】ABC

【解析】由椭圆方程知，.

选项A：因为P为椭圆上的动点，所以，所以的最大值为

，故A正确；

选项B：当点P为短轴顶点时，的高最大，所以的面积最大，

此时，所以B正确；

选项C：设，，，…组成公差为d的等差数列为，所以，，，

故C正确；

选项D：因为

，又，

所以，而，

当且仅当时取等号.此时，

故此时最大.此时

故D不成立.故选ABC．

11.已知椭圆C：1的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，其中，若，||，则椭圆的离心率的取值范围为_____．

【答案】(，]

【解析】设，由，知，因为，在椭圆上，，

所以四边形为矩形，；

由，可得1，

由椭圆的定义可得，???①，

平方相减可得②，

由①②得；

令t，令，

所以，即，

所以，

所以，

所以，解得.

(四)定点定值及最值问题

12.（2022届天津市部分区高三上学期期末）已知椭圆的一个顶点为，离心率为.

(1)求椭圆的方程

(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点A，B，与轴交于点E，