高考数学一轮复习（新高考版） 第4章　§4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式.docx

§4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式

课标要求1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．

知识梳理

1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式

(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；

(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；

(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；

(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；

(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)；

(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ).

2．辅助角公式

asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).

常用结论

两角和与差的公式的常用变形：

(1)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ.

(2)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ.

(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)．

(4)tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tan?α＋β?)＝eq\f(tanα－tanβ,tan?α－β?)－1.

自主诊断

1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)

(1)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sinα－sinβ成立．(√)

(2)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ都不成立．(×)

(3)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,3)))能根据公式tan(α－β)直接展开求值．(×)

(4)公式asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(×)

2．(必修第一册P220T3改编)计算cos72°cos12°＋sin72°sin12°的结果为()

A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)D.eq\f(\r(2),2)

答案B

解析cos72°cos12°＋sin72°sin12°

＝cos(72°－12°)

＝cos60°＝eq\f(1,2).

3．(必修第一册P220T2改编)若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限角，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()

A.eq\f(7\r(2),10)B．－eq\f(7\r(2),10)C．－eq\f(\r(2),10)D.eq\f(\r(2),10)

答案B

解析∵α是第三象限角，∴sinα0，

∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))2)＝－eq\f(3,5)，

∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(\r(2),2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(7\r(2),10).

4．若将sinx－eq\r(3)cosx写成2sin(x－φ)的形式，其中0≤φπ，则φ＝.

答案eq\f(π,3)

解析因为sinx－eq\r(3)cosx

＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx－\f(\r(3),2)cosx))，

所以cosφ＝eq\f(1,2)，sinφ＝eq\f(\r(3),2)，

因为0≤φπ，所以φ＝eq\f(π,3).

题型一两角和与差的三角函数公式

例1(1)已知tanα＝eq\f(1,7)，tanβ＝eq\f(3,4)，则tan(2α＋β)的值为()

A.eq\f(4,3)B.eq\f(2,3)C．－eq\f(